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Terminale S Limites de fonctions OLIVIER LÉCLUSE CREATIVE COMMON BY-NC-SA Juill

Terminale S Limites de fonctions OLIVIER LÉCLUSE CREATIVE COMMON BY-NC-SA Juillet 2013 1.0 Table des matières 3 Objectifs 5 Introduction 7 I - Limites en l'infini 9 A. Exercice : Approche intuitive..........................................................................9 B. Approche d'une limite infinie en l'infini...........................................................10 C. Limite infinie à l'infini...................................................................................11 D. Approche d'une limite finie en l'infini.............................................................13 E. Limite finie en l'infini....................................................................................14 II - Limite infinie en un point 17 A. Exercice.....................................................................................................17 B. Exercice.....................................................................................................18 C. Limite infinie en un réel...............................................................................19 D. Lire et interpréter un tableau de variations.....................................................23 III - Calcul de limites 25 A. Somme, produit et quotient de limites...........................................................25 B. Calculs de limites en utilisant les opérations simples........................................29 C. Théorème de composition............................................................................30 D. Exercice.....................................................................................................34 E. Théorèmes de comparaison..........................................................................34 F. Exercice......................................................................................................35 IV - Test final 37 Solution des exercices 41 Contenus annexes 53 4 Objectifs Dans ce chapitre, nous étudierons les notions de  limite finie ou infinie d'une fonction à l'infini  limite infinie d'une fonction en un point  limite de somme, produit, quotient et composes de fonctions  asymptote parallèle à l'un des axes de coordonnées Nous utiliserons également des techniques de comparaison et d'encadrement pour déterminer des limites. 5 Introduction Nous avons vu au chapitre précédent sur les suites la notion de limite en l'infini : lorsque n devient très grand, les valeurs d'une suite peuvent se rapprocher d'une certaine valeur limite, aller vers l'infini, ou alors ne pas donner de limite du tout. Dans le cadre des fonctions, nous rencontrerons également cette notion de limite lorsque x tend vers l'infini mais verrons également des limites lorsque x s'approche d'une valeur réelle pour laquelle la fonction n'est pas définie. 7 I - Limites en l'infini I Exercice : Approche intuitive 9 Approche d'une limite infinie en l'infini 10 Limite infinie à l'infini 11 Approche d'une limite finie en l'infini 13 Limite finie en l'infini 14 Dans cette partie, on s’appuiera sur les connaissances de limites de suites vues au chapitre précédent. L'idée générale reste la même à savoir que l'on va donner à x des valeurs de plus en plus grandes (ou petites si x est négatif) et observer le comportement de f(x) lorsqu'on s'approche de l'infini. Nous allons voir que comme pour les suites, plusieurs cas sont possibles :  Les valeurs de la fonction deviennent de plus en plus grandes (ou plus petites si f(x) est négatif)  Les valeurs de la fonction s'approchent d'un nombre réel bien déterminé  Les valeurs de la fonction ne permettent pas d'obtenir de limite particulière A. Exercice : Approche intuitive [Solution n°1 p 29] Dans cette activité, nous allons étudier plusieurs comportements en l'infini. Glisser les différentes courbes dans la catégorie qui leur correspond en fonction du comportement de la fonction en l'infini. 1 - 2 - 9 3 - 4 - 5 - 6 - La fonction s'approche d'un réel lorsque x tend vers : La fonction s'approche d'un réel lorsque x tend vers : La fonction tend vers lorsque x tend vers : La fonction tend vers lorsque x tend vers : La fonction tend vers lorsque x tend vers : La fonction tend vers lorsque x tend vers : B. Approche d'une limite infinie en l'infini On considère la fonction définie sur par Q u e s t i o n 1 [Solution n°2 p 30] D'après la courbe représentative de la fonction, conjecturez sa limite en On se souvient de la définition rigoureuse d'une limite infinie d'une suite - p.39. Nous allons nous en inspirer pour montrer que la fonction f peut prendre des valeurs arbitrairement grandes pour peu que l'on prenne des valeurs de x suffisamment grandes. Q u e s t i o n 2 [Solution n°3 p 30] Soit A un réel positif. Démontrer qu'il existe un nombre m tel que dès que Indice : On pourra utiliser le résultat que la fonction racine est croissante. Limites en l'infini 10 C. Limite infinie à l'infini Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle On dit que f a pour limite en si la fonction f peut prendre des valeurs plus grandes que n'importe quel réel donné dès que x est assez grand On note alors Complément : à titre d'exercice... On peut donner des définitions analogues d'une  limite égale à en  limite égale à en  limite égale à en Exemple : Limites usuelles Complément Pour démontrer ces résultats, inspirez-vous de l'activité précédente. Remarque Si une fonction f admet une limite infinie en , alors la suite de terme général a la même limite. Attention La réciproque est fausse ! ! exemple : donc diverge vers , mais oscille sans cesse et n'a pas de limite. Méthode : Dresser un tableau de variation complet Dorénavant, on fera figurer dans les tableaux de variations les limites éventuelles. On lit sur ce tableau que et Limites en l'infini 11 D. Approche d'une limite finie en l'infini On considère la fonction définie sur par Q u e s t i o n 1 [Solution n°4 p 30] A l'aide de la calculatrice, conjecturer la limite de f en Indice : On pourra calculer des images par f de nombres de plus en plus grand Cette conjecture ne constitue en rien une preuve. Néanmoins, si elle est vraie, cela signifie qu'on peut s'approcher de la valeur obtenue autant que l'on souhaite. Vérifions cela à l'aide d'un algorithme : 1 S prend la valeur 3,0000001 2 X prend la valeur 10 3 Tant Que f(X)>S 4 ... X prend la valeur X*10 5 Afficher X Q u e s t i o n 2 [Solution n°5 p 30] Quel est le rôle de cet algorithme ? A quoi servent les variables ? Expliquer le choix de la méthode utilisée. Q u e s t i o n 3 [Solution n°6 p 30] Programmer cet algorithme et donner la valeur obtenue en sortie. Indice : On pourra utiliser la calculatrice ou le langage Python en ligne1. Q u e s t i o n 4 [Solution n°7 p 31] Résoudre l'équation . Interpréter ce résultat. Q u e s t i o n 5 [Solution n°8 p 31] Calculer . Conclure. Nous allons à présent démontrer rigoureusement notre conjecture. Pour cela, nous allons montrer que nous pouvons nous approcher aussi près que l'on veut de la limite 3, dès lors que x est suffisamment grand. Q u e s t i o n 6 [Solution n°9 p 31] Montrer que pour tout réel de Q u e s t i o n 7 [Solution n°10 p 31] Montrer qu'il existe un nombre m tel que si . Interpréter ce résultat. 1 - http://www.pythontutor.com/ Limites en l'infini 12 E. Limite finie en l'infini Définition Si f est une fonction définie sur un intervalle , f a pour limite le réel quand x tend vers l'infini si les images f(x) sont aussi proches que l'on veut de , à condition de prendre x suffisamment grand. On note alors On peut formaliser les choses en s'inspirant de la définition donnée pour les limites finies de suites - p.40 : si pour tout intervalle ouvert , il existe un réel m tel que dès que Complément La droite d'équation est alors asymptote horizontale à la courbe en Exemple Avec la fonction homographique de l'activité précédente, on a mais on peut aussi montrer de manière analogue que . Par conséquent, la droite d'équation est asymptote horizontale à la courbe en et en Graphiquement, la courbe s'approche de la droite autant que l'on souhaite, sans toutefois ne jamais la toucher comme on l'a démontré dans l'activité précédente. Fondamental : Limite de référence et . Par conséquent l'axe des abscisses est asymptote horizontale pour la courbe représentative de la fonction inverse. Attention Certaines fonctions n'ont pas de limite, finie ou infine en l'infini. C'est le cas par exemple des fonction sin et cos qui oscillent sans arrêt. Limites en l'infini 13 Limites en l'infini 14 II - Limite infinie en un point II Exercice 17 Exercice 18 Limite infinie en un réel 19 Lire et interpréter un tableau de variations 23 Il existe un autre type de limites : celles en une valeur particulière qui pose problème. Cette situation inédite n'existe pas dans le monde des suites. L'exemple le plus simple pour appréhender cette notion est de considérer la fonction inverse en 0 : On sait que l'inverse de 0 n'existe pas. On sait également que l'inverse d'un nombre positif très proche de 0 est un nombre très grand. peut à partir de ce constat aborder la notion de limite en un point. A. Exercice [Solution n°11 p 32] Dans cette activité, nous allons étudier plusieurs comportements en un point d'abscisse a. Glisser les différentes courbes dans la catégorie qui leur correspond en fonction du comportement de la fonction au point d'abscisse . 1 - 2 - 3 - La fonction s'approche d'un La fonction s'approche de La fonction s'approche de 15 réel lorsque x tend vers a : +∞ lorsque x tend vers a uploads/Industriel/ ch02limites-papier.pdf