CHAPITRE I REPRÉSENTATION D’ÉTAT DES SYSTÈMES DYNAMIQUES  ل إء  ق  ل

CHAPITRE I REPRÉSENTATION D’ÉTAT DES SYSTÈMES DYNAMIQUES  ل إء  ق  ل   إ وء ام Représentation d’état des systèmes dynamiques CHAPITRE I -2- I. INTRODUCTION L’analyse et la synthèse des systèmes dynamiques linéaires invariants (SLI) nécessitent la connaissance d’un modèle mathématique traduisant les relations reliant les grandeurs d’entrée principales et secondaires aux grandeurs de sortie. En générale chaque SLI peut être représenté par une représentation suivante : • Représentation graphique qui peut être diagramme fonctionnel ou de fluence • Représentation reliant l’entrée à la sortie comme les fonctions de transfert qui demeurent des représentations externes ou par des modèles d’état dans ce cas on parle de représentations internes. La représentation externe reste valable et efficace quelque soient les systèmes jusqu’à ce que ces derniers atteignent une complexité telle l’unique relation entrée - sortie pour les commander correctement ne peut en satisfaire. Ces modèles deviennent difficiles à mettre en œuvre lorsqu’ils possèdent plusieurs entrées et plusieurs sorties. L’analyse par variables d’´etat est une approche moderne d’étude des systèmes née dans les années 60. Parmi les domaines d’application de cette théorie, l’automatique prend une place privilégiée : les représentations d’état sont à l’origine de méthodes puissantes d’analyse et de commande des systèmes, et qui possèdent en outre, l’avantage de conserver la représentation temporelle des phénomènes. II. REPRESENTATION D’ETAT L’idée de base des représentations d’état est que le futur d’un système dépend de son passé, de son présent et de ses entrées. Quelques définitions à cet effet : • L’état : est une structure mathématique constituée d’un ensemble de n variables x1(t), x2(t), x3(t)… xn(t) telles que les valeurs initiales xi(t0) de cet ensemble et les entrés ui(t) suffisent pour déduire d’une manière unique la réponse du système pour  ≥ Analyse et commande dans l’espace d’état Représentation d’état des systèmes dynamiques • Les variables d’état possibles du système • Le vecteur d’´etat : décrivant le système • Les équations d’état premier ordre. • L’espace d’état : représentation valide du système formée par l équations d’état et les Les fonctions f et g ne dépendent pas explicitement du temps. Cette formulation constitue invariante dans le temps système LTI (Linear Time fait l’objet de ce cours. Exemple1.1: Considérons le système Ce système est décrit   En choisissant (t) conditions initiales (à Analyse et commande dans l’espace d’état - - Représentation d’état des systèmes dynamiques -3- Les variables d’état : un sous-ensemble de toutes les variables me x1(t), x2(t), x3(t)… xn(t) est l’ensemble minimal de variables          Les équations d’état : un groupe de n équations diffé      représentation valide du système formée par l tat et les équations de sortie. ne dépendent pas explicitement du temps. Cette formulation constitue une représentation d’é invariante dans le temps d’un système dont on parle système LTI (Linear Time-Invariant). Ce type de modèle fait l’objet de ce cours. onsidérons le système (RLC) de la figure-1 : Figure 1.1 : Circuit RLC par l’équation différentielle suivante           1   (t) et i(t) comme variable d’état avec les conditions initiales (à t=0),  (0)=0 et i(0) = 0, et comme entrée la CHAPITRE I les variables ensemble minimal de variables d’état (1.1) érentielles de (1.2) représentation valide du système formée par les ne dépendent pas explicitement du temps. une représentation d’état linéaire dont on parle souvent de e type de modèle continu qui par l’équation différentielle suivante : comme variable d’état avec les comme entrée la Analyse et commande dans l’espace d’état Représentation d’état des systèmes dynamiques tension d’alimentation condensateur u(t). On pose           La représentation d’état correspondante à ce système est comme suit : !   "  D’une manière générale, à tout système linéaire, causal et continu peuvent être associées les équations matricielles suivantes : #  $ Et peut être représenté par la figure Figure 1.2 : S Analyse et commande dans l’espace d’état - - Représentation d’état des systèmes dynamiques -4- d’alimentation e(t) et pour la sortie la tension aux borne On pose :   ,     ,    &    & 1    1    1   La représentation d’état correspondante à ce système est comme   " &   & 1  1 0  !   "  ( 1  0 )  *0 1 + !   " D’une manière générale, à tout système linéaire, causal et continu associées les équations matricielles suivantes : #  , -  .  Equation d’é  -  8  Equation de Et peut être représenté par la figure 1.2 : Schéma bloc de la représentation d’état CHAPITRE I tension aux bornes du  La représentation d’état correspondante à ce système est comme  D’une manière générale, à tout système linéaire, causal et continu associées les équations matricielles suivantes : ’état de sortie (1.3) chéma bloc de la représentation d’état Représentation d’état des systèmes dynamiques CHAPITRE I -5- Dans le cas général, le système peut avoir plusieurs entrées et plusieurs sorties. Soit n le nombre de variables d’état, m le nombre d’entrées et p le nombre de sorties. A : matrice d’état (ou dynamique) du système de dimension [n x n]. B : matrice de commande (d’entrée) de dimension [n x m]. C : matrice de mesure (de sortie) du système de dimension [p x n]. D : matrice de transmission directe de dimension [m x p]. X : vecteur d’état du système. u : vecteur d’entrée du système. y : vecteur de sortie du système. Notes : • Il est important de noter, que la représentation d’état d’un système n’est pas unique et dépend, notamment, du choix des variables d’état selon l’étude du concept. • Il est possible de passer d'une représentation d'état à une autre équivalente par une transformation linéaire. • Il est rare que la sortie du système soit directement reliée à son entrée. On a donc très souvent D = 0. III. ESPACE D’ETAT ET FONCTION DE TRANSFERT A. Passage de l’espace d’état vers la fonction de transfert Soit un système d’espace d’état , + .  + 8  La conversion de ce système vers la fonction de transfert peut être obtenue en lui appliquant la transformée de Laplace aux deux côtés. (En supposant les conditions initiales sont nulles) : < -< , -< + . =< $< -< + 8 = < (1.4) ou sous la forme < -< −, -< . =< $< -< + 8 =< Analyse et commande dans l’espace d’état - - Analyse et commande dans l’espace d’état - - Représentation d’état des systèmes dynamiques CHAPITRE I -6- On trouve X(s) telle que : -< < > −, ? . =< Si on remplace X(s) dans l’équation de sortie Y(s) on trouve : $< [ < > −, ? . + 8] =< La fonction de transfert @< du système étant : AB CB DB [EB F −G ?HI + J] (1.5) Exemple1.2 : Soit un système donné par sa représentation d’état suivante : K  L K 3 1 0 −2 L O  P + K 0 1 L  [1 1 ] O  P <> −, K < 0 0 < L −K 3 1 0 −2 L K < −3 −1 0 < + 2 L <> −, ? QR<> −, <> −, S< + 2 1 0 < −3T < + 2 < −3 [E< > −, ? I + J] [1 1 ] S< + 2 1 0 < −3T < + 2 < −3 S0 1T + 0 [< + 2 < −2] < + 2 < −3 S0 1T < −2 < − < −6 AB En utilisant la fonction préétablie de Matlab (ss2tf), on obtient : Analyse et commande dans l’espace d’état - - Représentation d’état des systèmes dynamiques CHAPITRE I -7- Figure 1.3 : passage de la représentation d’état vers la fonction de transfert sous Matlab B. Passage de la fonction de transfert vers l’espace d’état En se basant sur la méthode des variables de phase, on peut convertir une fonction de transfert à une représentation d’état. Soit le système représenté par la fonction de transfert @< @< VW XW ∑ Z[W[ \ ] W^_∑ `[ ^ab ] W[ Qcd e ≤g (1.6) En décomposant cette fonction de transfert @< en deux fonctions de telle sorte qu’on sépare la sortie $< de l’entrée =< comme suit : @< $< =< $< < < =< @ < . @< Avec @< W^_∑ `[ ^ab ] W[  @ < ∑ ij<j k  En écrivant @ <  @< sous la forme différentielle : Analyse et commande dans l’espace d’état - - Représentation d’état des systèmes dynamiques CHAPITRE I -8- ^l ^ + Qm? ^l ^ + … + uploads/Industriel/ cha-3-4-5-representa-detat.pdf

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