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Mme HABABOU Hella Cours de mathématiques appliquées 1 Section III- Résolution g

Mme HABABOU Hella Cours de mathématiques appliquées 1 Section III- Résolution graphique du problème linéaire La résolution graphique ne s’applique que lorsqu’on est en présence d’un programme linéaire contenant au maximum deux variables qui sont facilement identifiées dans un repère à deux dimensions. Cette résolution graphique se base sur les étapes suivantes : 1- On reporte sur un graphique chacune des contraintes du problème et on détermine la région commune à l’ensemble de ces contraintes. On obtient ainsi la région ou le domaine des solutions réalisables, c’est à dire, la délimitation des valeurs possibles de xj satisfaisant simultanément toutes les contraintes. 2- On détermine les coordonnées des points extrêmes ou sommets du domaine des solutions réalisables. 3- On substitue ensuite les coordonnées de chaque point extrême dans l’expression de la fonction économiques et on retient comme solution optimale celui (ou ceux) qui optimise cette dernière, c’est à dire celui (ou ceux ) qui selon le cas maximise ou minimise la fonction économique. L’illustration de la résolution graphique d’un problème de programmation linéaire se fera à partir de l’exemple suivant : Une entreprise industrielle fabrique plusieurs modèles d’appareils électroménagers. Le programme actuel de fabrication est de 500 unités du modèles A et 400 unités du modèle B Le responsable de la fabrication veut déterminer si les bénéfices de l’entreprise peuvent être augmentés en modifiant le programme de fabrication actuel. Il possède l’information suivante sur le nombre d’heures requises pour fabriquer chaque modèle ainsi que le temps disponible à chaque atelier : A B Ateliers Nombre d’heures requises Temps disponible Assemblage 3 4 4200 heures Vérification 1 3 2400 heures Empaquetage 2 2 2600 heures Contribution aux bénéfices en dinars 100/unité 120/unité On demande de formuler le modèle mathématique de ce problème de fabrication et de déterminer, à l’aide de la méthode graphique, le programme optimal à mettre en œuvre. Mme HABABOU Hella Cours de mathématiques appliquées 2 1- Formulation du modèle On Note X1 le nombre d’unités à fabriquer du modèle A et X2, le nombre d’unités à fabriquer du modèle B Les contraintes sont : 0 x , 0 x négativité - non (3) heures 2600 x 2 2x ge (empaqueta (2) heures 2400 x 3 x ion) (vérificat (1) heures 4200 x 4 3x e) (assemblag 2 1 2 1 2 1 2 1         La fonction économique qui l’on veut maximiser est Z = 100x1 +120x2 où Z représente le bénéfice totale en dinars 2- Tracé des contraintes                0 x , 0 x (4) 2600 x 2 2x (3) 2400 x 3 x (2) 4200 x 4 3x (1) 2 1 2 1 2 1 2 1 L’axe x1 représente la quantité du modèle A à fabriquer et l’axe x2 la quantité du modèle B. La contrainte de non négativité nous restreint ou premier quadrant (positif). En général pour tracer une inéquation linéaire de la forme b x a x a 2 2 1 1   ou b x a x a 2 2 1 1   il faut d’abord tracer l’équation de la droite a1x1 +a2x2 = b. On obtient les coordonnées des points se situant :  Sur l’axe x2 en passant par x1 = 0 d’où x2 = 2 a b  (0, 2 a b )  Sur l’axe x1 en passant par x2 = 0 d’où x1 = 1 a b  (0, 1 a b ) Il s’agit de relier les coordonnées de ces deux points pour obtenir le tracé de la droite correspondante. Cette droite partage alors le plan en deux demi-plans ; On obtient le demi-plan correspondant à une inéquation en vérifiant si les coordonnées d’un point situé dans un des demi-plans satisfait ou non l’équation. Généralement, on substitue l’origine (0,0) dans l’inéquation pour déterminer quelle partie du plan satisfait l’inéquation, si cette dernière ne passe pas elle-même par l’origine. Mme HABABOU Hella Cours de mathématiques appliquées 3 ) 0 (1300, 1300 x 0 x si et (0,1300) 1300 x 0 x si 2600 x 2 x 2 2600 x 2 x 2 ) 3 ( (2400,0) 2400 x 0 x si et (0,800) 800 x 0 x si 0 240 x 3 x 0 240 3x x (2) (1400,0) 2400 x 0 x si et ) 1050 , 0 ( 1050 x 0 x si 4200 x 4 x 3 4200 x 4 x 3 ) 1 ( 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1                                  Tous les points de cette région sont des solutions réalisables pour le problème de fabrication de l’entreprise industrielle. Toutefois, notre intérêt portera seulement sur les points extrêmes de cette région. 2x1+2x2 = 2600 x1+3x2 = 2400 3x1+4x2 = 4200 x1 x2 Quantités du modèle A x 102 13 14 24 14 10,5 8 Quantités du modèle B x 102 Région des solutions réalisables Mme HABABOU Hella Cours de mathématiques appliquées 4 3- Détermination des points extrêmes On peut toujours obtenir exactement les coordonnées des points extrêmes en résolvant les équations des droits qui se coupent deux à deux. Si on reproduit la région des solutions réalisables avec les points extrêmes notés de (a) à (e) Le point C est l’intersection de (1) et (2) 600 et x 600 x 3000 x 5 ) 2400 3 ( 4200 x 9 3x x 4 3x ) 2 ( 3 ) 1 ( (2) 2400 x 3 x (1) 4200 x 4 3x 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1                     De même pour les coordonnées des points e b, a, et ) 3 ( ) 1 ( d   Points extrêmes Coordonnées ) x , x ( 2 1 a (0,0) b (0,800) c (600,600) d (1000,300) e (1300,0) 4 - Détermination du point extrême optimal Il s’agit tout simplement de substitution les cordonnées de chaque point extrême dans l’expression de la fonction économique (Z= 2 1 x 120 x 100  le bénéfice total en dinars), on obtient alors les valeurs suivantes : x1 x2 Quantités du modèle A x 102 Quantités du modèle B x 102 b a c d e Mme HABABOU Hella Cours de mathématiques appliquées 5 Points extrêmes Coordonnées ) x , x ( 2 1 Z= 2 1 x 120 x 100  a (0,0) 0 b (0,800) 96.000 c (600,600) 132.000 d (1000,300) 136.000 e (1300,0) 130.000 La valeur maximale de la fonction économique est 136000 dinars et s’obtient au point extrême d de coordonnées 300 x et 1000 x 2 1   Le programme actuel de fabrication (500 unités de A et 400 unités de B) permet de réaliser un bénéfice maximum de 98 000 D. Le responsable de la fabrication obtient donc une augmentation de 38 000 D. Ce nouveau programme (1000 unités de A et 300 unités de B) de fabrication utilise 4200 heures en atelier d’assemblage, 1900 heures en atelier de vérification et 2600 heures en atelier d’empaquetage. Il respecte toutes les contraintes fonctionnelles et les contraintes de non négativité. Il faut aussi mentionner qu’il existe 500 heures de temps mort à l’atelier de vérification. Remarque On peut déterminer la solution optimale en utilisant l’équation de la droite D* obtenue à partir de la fonction économique : Z = y C x C 2 1  D’où D* : 2 2 1 C z x C C y    En faisant varier Z on aura différentes droites qui ont particularité d’être parallèles. Ainsi en donnant la valeur zéro à Z, on peut représenter la droite D* correspondante qui passe par l’origine tout en ayant une pente de 2 1 C C  . Ensuite, s’il s’agit d’un cas de maximisation, on fait la translation de la droite parallèlement à elle-même jusqu’à atteindre le point extrême (le sommet) du domaine des solutions réalisables, le plus éloigné de l’origine. Ce point représente alors la solution optimale. Dans le cas d’une minimisation on effectue la translation de la droite jusqu’à atteindre le sommet du domaine des solutions réalisables qui est le plus proche de l’origine. Ce point représentera ainsi la solution optimale. Mme HABABOU Hella Cours de mathématiques appliquées 6 En ce qui concerne l’exemple précédent, on aura : D* : Y= 12 Z x 12 10   La solution est aussi le point d de coordonnées (10,3) Application Résoudre le problème linéaire suivant :              0 x 0 x 12 x x 7 uploads/Industriel/ chapitre-4-section-iii-resolution-graphique-du-probleme-lineaire.pdf