2` eme ann´ ee ESIP , sp´ ecialit´ e AGE Cours d’Automatique Repr´ esentations

2` eme ann´ ee ESIP , sp´ ecialit´ e AGE Cours d’Automatique Repr´ esentations d’´ etat lin´ eaires des syst` emes monovariables Olivier BACHELIER Courriel : Olivier.Bachelier@univ-poitiers.fr Tel : 05-49-45-36-79 ; Fax : 05-49-45-40-34 2` eme ann´ ee ESIP , sp´ ecialit´ e AGE Cours d’Automatique Repr´ esentations d’´ etat lin´ eaires des syst` emes monovariables Olivier BACHELIER Courriel : Olivier.Bachelier@univ-poitiers.fr Tel : 05-49-45-36-79 ; Fax : 05-49-45-40-34 18 mars 2008 R´ esum´ e Ce cours d’Automatique s’inscrit dans le cadre de la deuxi` eme ann´ ee de « cycle ing´ enieur » de l’ ´ Ecole Sup´ erieure d’Ing´ enieurs de Poitiers (ESIP) et s’adresse aux ´ etudiants de la sp´ ecialit´ e G´ enie ´ Electrique et Automatique (GEA). Ces derniers ont d´ ej` a suivi un enseignement relatif ` a l’´ etude des syst` emes lin´ eaires mod´ elis´ es par une fonction de transfert (approche fr´ equentielle). Ce cours s’int´ eresse aux mˆ emes syst` emes mais propose une ´ etude via un mod` ele diff´ erent, appel´ e repr´ esentation d’´ etat lin´ eaire (approche temporelle). Connaissances pr´ ealables souhait´ ees : notions de syst` emes lin´ eaires, ´ equations diff´ erentielles, fonction de transfert en p (voire en z), analyse et commande des syst` emes lin´ eaires par approche fr´ equentielle, quelques bases d’alg` ebre lin´ eaire. ii Table des mati` eres 1 Introduction 1 1.1 Notion de syst` eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Notion de mod` ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Grandes lignes du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Rappel sur la fonction de transfert 5 2.1 ´ Equations pr´ eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1 Lin´ earit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.2 Mod` ele entr´ ee/sortie : l’´ equation diff´ erentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.3 Transform´ ee de Laplace : de l’´ equation diff´ erentielle ` a la fonction de transfert . . . . . . . 6 2.2 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.1 Comment obtenir la fonction de transfert ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.2 Int´ erˆ et de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 La repr´ esentation d’´ etat 11 3.1 Principe g´ en´ eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2 De la non-lin´ earit´ e ` a la lin´ earit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.3 Historique de la repr´ esentation d’´ etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.4 Comment obtenir un mod` ele d’´ etat ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.4.1 Par le jeu d’´ equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.4.2 Par l’´ equation diff´ erentielle unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.5 De la fonction de transfert ` a la repr´ esentation d’´ etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.5.1 Cas d’une fonction de transfert strictement propre (m < n) . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.5.1.1 R´ ealisation diagonale ou quasi diagonale de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.5.1.2 R´ ealisation de forme compagne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.5.2 Cas d’une fonction de transfert non strictement propre (m = n) . . . . . . . . . . . . . . 20 3.6 De la repr´ esentation d’´ etat ` a la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.7 D’une r´ ealisation ` a l’autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.7.1 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.7.2 Obtention d’une forme compagne (horizontale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.7.3 Obtention d’une forme de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.7.3.1 Les valeurs propres λi de A sont distinctes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.7.3.2 Les valeurs propres λi de A sont multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 R´ eponse d’un mod` ele d’´ etat 25 4.1 Solution du syst` eme autonome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.1.1 Matrice de transition d’´ etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.1.2 Solution de l’´ equation homog` ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2 Solution de l’´ equation d’´ etat compl` ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Industriel/ cours-d-x27-automatique.pdf

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Industrielsyst` matrice fonction cette stabilit´
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