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Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobab

Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice 1 Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes. On tire au hasard et simultanément deux boules. 1) Calculez les probabilités des événements • R « les deux boules sont rouges » ; • V « les deux boules sont vertes ». 2) On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de boules vertes obtenues. • Trouvez la loi de probabilité de X. • Calculez E(X). Exercice 2 On club de randonnée propose à ses adhérents une sortie payante suivant les tarifs indi- qués ci-dessous. Catégorie A (adultes) J (jeunes) E (enfants) Sortie 20 e 13 e 7 e Repas 12 e 7 e 4 e Le club a inscrit 87 participants pour cette sortie dont 58 adultes et 12 enfants. La moitié des adultes, un quart des enfants et 10 jeunes ont apporté leur propre pique- nique. On choisit au hasard un participant. On note X la variable aléatoire qui indique le prix payé au club par un participant. 1) Faire un arbre d’eﬀectifs suivant la catégorie du participant et suivant qu’il emporte son pique-nique ou non. 2) Quelles sont les valeurs possibles prises par X ? 3) a) Dresser le tableau de la loi de probabilité de X. b) Sur quel tarif moyen par adhérent peut compter le club s’il renouvelle un grand nombre de fois ce type de sortie dans les même condition ? Probabilités conditionnelles Exercice 3 Deux ateliers A et B fabriquent des puces électroniques. Pour une commande de 2 000 pièces, A en a produit 60% et B en a produit 40%. L’atelier A produit 4% de puces défectueuses et B en produit 3%. On prend une puce au hasard dans la commande. On appelle A l’événement « la puce provient de l’atelier A », B l’événement « elle provient de l’atelier B » et D l’événement « elle est défectueuse ». paul milan 1 Terminale S exercices 1) Compléter la tableau suivant qui décrit la composition de la commande : nombre de puces défectueuses nombre de puces non défectueuses total nombre de puces produit par A nombre de puces produit par B total 2) Calculer les probabilités suivantes : a) p(D), p(A ∩D) et pD(A) b) p(D), p(D ∩B) et p ¯ D(B) c) Remplir l’arbre suivant : D ? A ? B ? D ? A ? B ? Exercice 4 1) A et B sont tels que p(A) = 1 2, p(B) = 1 4 et p(A ∩B) = 1 10 Calculer pA(B) et pB(A). 2) A et B sont tels que p(A) = 1 2, p(B) = 1 3 et p(A ∪B) = 2 3 Calculer p(A ∩B), pA(B) et pB(A). 3) A et B sont tels que p(A) = 1 3, pA(B) = 1 4 et p ¯ A(B) = 1 2 Calculer p(B). 4) A et B sont tels que p(A) = 1 2, p(B) = 3 4 et p(A ∩B) = 2 5 a) pA(B) et pB(A) b) Calculer p(A ∩B). En déduire p ¯ A(B). Exercice 5 À la suite d’un sondage eﬀectué à propos de la construction d’un barrage, on estime que : • 65% de la population concernée est contre la construction de ce barrage et parmi ces opposants, 70% sont des écologistes ; • parmi les personnes non opposées à la construction, 20% sont des écologistes. On interroge une personne au hasard. 1) Écrire les probabilités correspondantes aux données puis construire un arbre pondéré. 2) Calculer la probabilité qu’une personne interrogée soit opposée au barrage et soit éco- logiste. paul milan 2 Terminale S exercices 3) Calculer la probabilité qu’une personne interrogée ne soit pas opposée et soit écolo- giste. 4) En déduire la probabilité qu’une personne interrogée soit écologiste. Exercice 6 Un tiroir T1 contient cinq pièces d’or et cinq pièces d’argent, un tiroir T2 en contient quatre d’or et six d’argent. On choisit au hasard l’un des tiroirs et dans ce tiroir, on prend une pièce au hasard. 1) Construire l’arbre pondéré de cette expérience aléatoire. 2) Calculer la probabilité de prendre une pièce d’or • du tiroir T1 ; • du tiroir T2. 3) Calculez la probabilité de prendre une pièce d’or. 4) On a extrait une pièce d’or. Quelle est alors la probabilité qu’elle provienne du tiroir T1 ? Pouvait-on le prévoir ? Exercice 7 Le personnel d’un hôpital est réparti en trois catégories : M (médecins), S (soignants non médecins) et AT (personnel administratif ou technique). • 12% sont des médecins et 71% des soignants. • 67% des médecins sont des hommes et 92% des soignants sont des femmes. On interroge au hasard un membre du personnel 1) Écrire les probabilités correspondantes aux données puis construire un arbre pondéré. 2) Quelle est la probabilité que la personne interrogée soit une femme soignante ? une femme médecin ? 3) On sait que 80% du personnel est féminin. • Calculer la probabilité que la personne interrogée soit une femme AT. • En déduire la probabilité que la personne interrogée soit une femme sachant que cette personne interrogée est AT. Exercice 8 Un lot de cent dés contient vingt dés pipés. Pour un tel dé, la probabilité d’apparition du 6 est égale à 1 2. Les autres dés sont parfaits. 1) On prend au hasard un dé, on le lance. Calculer la probabilité de l’événement S «on obtient 6 ». 2) On prend au hasard un dé, on le lance, on obtient 6. Calculer la probabilité que le dé soit pipé. Exercice 9 Le quart de la population d’un pays a été vacciné. Parmi les vaccinés, on compte 1 12 de malades. Parmi les malades, 1 5 n’est pas vacciné. paul milan 3 Terminale S exercices 1) Calculer : a) la probabilité qu’une personne malade soit vacciné ; b) la probabilité qu’une personne soit vaccinée et malade ; c) la probabilité qu’une personne soit malade. 2) En déduire la probabilité qu’une personne non-vaccinée tombe malade. Que pouvez- vous en déduire ? Exercice 10 Une étude épidémiologique concernant une certaine maladie a été faite dans des familles ayant deux enfants de moins de dix ans : une ﬁlle et un garçon. On a constaté que 20 % des ﬁlles et 50 % des garçons sont touchés par la maladie. Par ailleurs, dans les familles dont la ﬁlle est malade, le garçon l’est aussi dans 70 % des cas. On notera : • F l’événement « la ﬁlle de la famille est atteinte par la maladie » ; • G l’événement « le garçon de la famille est atteint par la maladie. » On choisit au hasard une famille ayant fait l’objet de cette étude. Quelle est la probabilité que : 1) A « les deux enfants soient atteints par la maladie » ; 2) B « au moins l’un des deux enfants soit atteint » ; 3) C « aucun des deux enfants ne soit atteint » ; 4) D « la ﬁlle soit atteinte sachant que le garçon l’est » ; 5) E « la ﬁlle soit atteinte sachant que le garçon n’est pas atteint. » 6) H « le garçon soit atteint sachant que la ﬁlle n’est pas atteinte. » Exercice 11 On considère l’arbre de probabilités suivant : b A 0, 2 B 0, 68 B A B B 0, 4 Aﬃrmation : la probabilité de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé est égale à 0,32. Cette aﬃrmation est-elle vraie ou fausse ? On se justiﬁera Exercice 12 Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts. On appelle A l’événement « l’appareil présente un défaut d’apparence » et F l’événement « l’appareil présente un défaut de fonctionnement ». On suppose que les événements A et F sont indépendants. On sait que la probabilité que l’appareil présente un défaut d’apparence est égale à 0, 02 et que la probabilité que l’appareil présente au moins l’un des deux défauts est égale à 0, 069. On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l’appareil présente le défaut F ? paul milan 4 Terminale S exercices Indépendance Exercice 13 Un dé cubique truqué est tel que la probabilité de sortie d’un numéro k est proportionnelle à k. On lance ce dé et on considère les événements : • A « le numéro est pair » ; • B « le numéro est supérieur ou égal à 3 » ; • C « le numéro obtenu est 3 ou 4 » a) Calculez les probabilités de A, B, C. b) Calculez la probabilité conditionnelle pA(B). c) A et B sont-ils indépendants ? A et C ? Exercice 14 Réunion juin 2005 On considère trois urnes U1, U2, et U3. L’urne U1 contient deux boules noires et trois boules rouges ; l’urne U2 contient une boule noire et quatre boules rouges ; l’urne U3 contient trois boules noires et quatre boules rouges. Une expérience consiste à uploads/Industriel/ 10-exos-proba-cond-loi-binomiale.pdf