Lycée JANSON DE SAILLY 04 septembre 2017 ENSEMBLES DE NOMBRES 2nde 10 I ENSEMBL

Lycée JANSON DE SAILLY 04 septembre 2017 ENSEMBLES DE NOMBRES 2nde 10 I ENSEMBLES DE NOMBRES 1 NOMBRES ENTIERS NATURELS DÉFINITION L’ensemble des entiers naturels, noté N = {0;1;2;3;4;...}. C’est l’ensemble des nombres positifs qui permettent de compter une collection d’objets. On note N∗ou N−{0} l’ensemble des entiers naturels non nuls. EXEMPLES 245 ∈N; −5 / ∈N; 25 ∈N; 3 5 / ∈N; 0 ∈N; 0 / ∈N∗ La notation « x ∈E » signifie que l’élément x appartient à l’ensemble E. La notation « x / ∈E » signifie que l’élément x n’appartient pas à l’ensemble E. NOTIONS D’ARITHMÉTIQUE Soient a et b deux nombres entiers naturels. — on dit que b divise a lorsqu’il existe un entier naturel q tel que a = b×q. (on dit encore que b est un diviseur de a ou que a est un multiple de b) — Un entier naturel p ⩾2 est un nombre premier lorsque ses seuls diviseurs sont 1 et p. 2 NOMBRES ENTIERS RELATIFS L’ensemble des nombres entiers relatifs est Z = {...;−2;−1;0;1;2;3;...}. Il est composé des nombres entiers naturels et de leurs opposés. En particulier, l’ensemble N est contenu (ou inclus) dans Z, ce que l’on note « N ⊂Z ». La proposition « Si n ∈N alors n ∈Z et −n ∈Z » est vraie. Par contre, la réciproque « Si n ∈Z et −n ∈Z alors n ∈N » est fausse. (Il suffit de choisir n = −1) 3 NOMBRES DÉCIMAUX Les nombres décimaux sont les nombres de la forme a 10n , où a est un entier et n un entier naturel. Ce sont les nombres dont l’écriture décimale n’a qu’un nombre fini de chiffres après la virgule. L’ensemble des nombres décimaux est noté D. EXEMPLES −13 ∈D; 0,3333 ∈D; 1 3 / ∈D; 3 4 ∈D; 3,1416 ∈D; π / ∈D. 4 NOMBRES RATIONNELS L’ensemble des nombres rationnels est Q = na b où a ∈Z, b ∈Z∗o . C’est l’ensemble des nombres qui s’écrivent comme le quotient d’un entier par un entier non nul. — La fraction a b avec b ̸= 0 est dite irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur n’ont pas de facteurs communs (autres que 1 ou −1). — La partie décimale d’un nombre rationnel est infinie et périodique à partir d’un certain rang. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 1 sur 6 Lycée JANSON DE SAILLY 04 septembre 2017 ENSEMBLES DE NOMBRES 2nde 10 — La division par 0 est interdite : l’écriture a 0 n’a aucun sens. EXEMPLES −13 ∈Q; 0,5 ∈Q; −1 3 ∈Q; 22 7 ∈Q; √ 2 / ∈Q; π / ∈Q. 5 NOMBRES RÉELS Dès l’antiquité, on avait découvert l’insuffisance des nombres rationnels. Par exemple, il n’existe pas de rationnel x tel que x2 = 2 on dit que √ 2 est un irrationnel. L’ensemble de tous les nombres rationnels et irrationnels est l’ensemble des nombres réels noté R Chaque nombre réel correspond à un unique point de la droite graduée. Réciproquement, à chaque point de la droite graduée correspond un unique réel, appelé abscisse de ce point. INCLUSIONS On a : N ⊂Z ⊂D ⊂Q ⊂R. N 0 23 15 Z −1 −12 −34 D −0,475 10−3 −3 4 Q 22 7 −4 3 √ 2 cos30° π − r 3 4 R II DÉVELOPPER, FACTORISER 1 DÉFINITION — Développer un produit, c’est écrire ce produit sous la forme d’une somme. — Factoriser une somme, c’est écrire cette somme sous la forme d’un produit. 2 PROPRIÉTÉS DISTRIBUTIVITÉ DE LA MULTIPLICATION SUR L’ADDITION Pour tous nombres réels a, b et k on a : k(a+b) = ka+kb Développer Factoriser A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 2 sur 6 Lycée JANSON DE SAILLY 04 septembre 2017 ENSEMBLES DE NOMBRES 2nde 10 DOUBLE DISTRIBUTIVITÉ Pour tous nombres réels a, b , c et d on a : (a+b)(c+d) = ac+ad +bc+bd EXEMPLES 1. Développer, réduire et ordonner (2x +3)(5−4x) = 10x−8x2 +15−12x = −8x2 −2x+15 2. Factoriser 6x2 −8x = 2x(3x−4) IDENTITÉS REMARQUABLES Pour tous nombres réels a et b on a : (a+b)2 = a2 +2ab+b2 (a−b)2 = a2 −2ab+b2 (a+b)(a−b) = a2 −b2 Développer Factoriser EXEMPLES 1. Développer  2x+ 3 2 2 = (2x)2 +2×(2x)× 3 2 + 3 2 2 = 4x2 +6x+ 9 4 (3x−2)2 = (3x)2 −2×(3x)×2+22 = 9x2 −12x+4 (5x+4)(5x−4) = (5x)2 −42 = 25x2 −16 2. Factoriser 4x2 +12x+9 = (2x)2 +2×(2x)×3+32 = (2x+3)2 4x2 −2x+ 1 4 = (2x)2 −2×(2x)× 1 2 + 1 2 2 =  2x−1 2 2 16x2 −121 = (4x)2 −112 = (4x+11)(4x−11) A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 3 sur 6 Lycée JANSON DE SAILLY 04 septembre 2017 ENSEMBLES DE NOMBRES 2nde 10 III INTERVALLES ET INÉQUATIONS 1 INTERVALLES Soient a < b deux nombres réels : L’ensemble des réels x tels que a ⩽x ⩽b est l’intervalle [a;b] a b [a;b] L’ensemble des réels x tels que a < x < b est l’intervalle ]a;b[ a b ]a;b[ L’ensemble des réels x tels que a ⩽x < b est l’intervalle [a;b[ a b [a;b[ L’ensemble des réels x tels que a ⩽x < b est l’intervalle ]a;b] a b ]a;b] L’ensemble des réels x tels que a ⩽x est l’intervalle [a;+∞[ a [a;+∞[ L’ensemble des réels x tels que a < x est l’intervalle ]a;+∞[ a ]a;+∞[ L’ensemble des réels x tels que x ⩽b est l’intervalle ]−∞;b] b ]−∞;b] L’ensemble des réels x tels que x < b est l’intervalle ]−∞;b[ b ]−∞;b[ EXEMPLES Écrire sous forme d’intervalle les ensembles de nombres réels suivants : 1. x ⩽3 4. L’ensemble cherché est constitué de tous les nombres réels x inférieurs ou égaux à 3 4. Il s’agit de l’intervalle  −∞; 3 4  . 2. −3 < x ⩽ √ 2. L’ensemble cherché est constitué de tous les nombres réels x strictement supérieurs à −3 et inférieurs ou égaux à √ 2. Il s’agit de l’intervalle i −3; √ 2 i . 2 INTERSECTION ET RÉUNION D’INTERVALLES Soient I et J deux intervalles de R. — L’intersection des intervalles I et J, notée I ∩J est l’ensemble des réels qui appartiennent à l’intervalle I et à l’intervalle J : Si x ∈I et x ∈J, alors x ∈I ∩J (∩se lit inter) — La réunion des intervalles I et J, notée I ∪J est l’ensemble des réels qui appartiennent à l’intervalle I ou à l’intervalle J : Si x ∈I ou x ∈J, alors x ∈I ∪J (∪se lit union) EXEMPLES 1. Soient les intervalles I = ]−∞;3] et J = ]−3;5]. a) L’intersection des deux intervalles I ∩J est l’ensemble des réels x tels que : x ⩽3 et −3 < x ⩽5 soit I ∩J = ]−3;3]. b) La réunion des deux intervalles I ∪J est l’ensemble des réels x tels que : x ⩽3 ou −3 < x ⩽5 soit I ∪J = ]−∞;5]. 2. L’ensemble des réels non nuls R∗est l’ensemble des réels x ∈]−∞;0[∪]0;+∞[. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 4 sur 6 Lycée JANSON DE SAILLY 04 septembre 2017 ENSEMBLES DE NOMBRES 2nde 10 EXERCICE 1 1. Quelle est la différence entre le carré de 7 et la somme des sept premiers nombres impairs? 2. Les nombres 152, 224 et 376 sont-ils divisibles par 8? La conjecture « Si la somme des chiffres d’un nombre entier est divisible par huit alors ce nombre est divisible par huit » est-elle vraie ou fausse? 3. a et b sont deux nombres premiers tels que a < b et a+b est un nombre premier. Déterminer a. 4. Quel est le plus petit nombre de cubes que contient une boîte de dimensions 63 cm, 45 et 18 cm? 5. La somme de trois entiers consécutifs est-elle divisible par 3? 6. Le produit de trois entiers consécutifs est-il divisible par 8? EXERCICE 2 Avant d’effectuer sa tournée un représentant fait le plein d’essence. Au cours de ses déplacements, il rajoute dans son réservoir une première fois 24,7 litres d’essence et une deuxième fois 18,9 litres. À son retour, il constate qu’il manque 11,5 litres pour refaire le plein du réservoir d’une capacité de 60 litres. Sachant que la consommation moyenne du véhicule est de 5,8 litres pour 100 kilomètres, quelle est la distance parcourue par ce représentant au cours de sa tournée? EXERCICE 3 1. Donner trois nombres rationnels compris entre 6 11 et 7 11 2. Quel nombre faut-il ajouter au numérateur et au dénominateur de la fraction 6 7 pour obtenir l’inverse de 6 7 ? EXERCICE 4 Soit E = 2x3 −x2 −5x−1. Calculer E pour x = −1 ou x = −1 2 ou x = 2. Peut-on conclure que pour tout réel x, E = 1? EXERCICE 5 Les nombres de Mersenne sont les nombres entiers de la forme Mn = 2n −1 où n est un entier naturel non nul. 1. Calculer les nombres de Mersenne M3 et M4. 2. La propriété « si 2n −1 est un nombre premier, alors n est premier » a été uploads/Industriel/ 2017-2018-seconde-nombres 1 .pdf

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