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Devoir de mécanique analytique Devoir de Mécanique Analytique Exercice 1 On tra

Devoir de mécanique analytique Devoir de Mécanique Analytique Exercice 1 On travaille dans la base cartésienne ( ⃗ i , ⃗ j ,⃗ k ). Le Lagrangien d’une particule de masse m et de charge « e » en mouvement dans un champ magnétique uniforme ⃗ B=B.⃗ k est donné par (en coordonnées cartésiennes) : L=1 2 m ( ˙ x 2+ ˙ y 2+ ˙ z 2)+ e.B 2c (x ˙ y−y ˙ x) c: est la célérité (vitesse) de la lumière dans le vide 1. Déterminer les impulsions généralisées. 2. Trouver le Hamiltonien H du système en fonction de (x , y , z, ˙ x , ˙ y , ˙ z¿puis en fonction de x , y , z, px, p y , pz¿ 3. Ecrire les équations de Hamilton. Exercice 2 : Soit un repère orthonormé direct et fixe R' (0' ,⃗ i' ,⃗ j' ,⃗ k ' ). Un autre repère (relatif) orthonormé et direct R (0, ⃗ i, ⃗ j,⃗ k ) mobile (en mouvement) par rapport au repère (R’) tel que : ⃗ o' o=r (t ).⃗ i' où r (t ) est une fonction du temps (t).  (⃗ i ' , ⃗ i)=ψ(t) où ψ(t) est une fonction du temps (t).  ⃗ k=⃗ k ' Un point matériel M est en mouvement par rapport au repère R (0, ⃗ i, ⃗ j,⃗ k ) tel que : x=t , y=2t et z=5t 2 1. Etablir l’équation de la trajectoire de M dans R (0, ⃗ i, ⃗ j,⃗ k ) 2. Exprimer le vecteur vitesse du point matériel M dans le repère relatif. 3. Calculer le vecteur accélération absolue du point matériel en considérant un angle de rotation de R par rapport à R’ constant : dψ dt =cste. Exercice 3 Une particule de masse m glisse sans frottement le long de la surface interne d’un cône d’axe (oz) et de demi angle α (voir figure ci-contre) 1. Choisir les coordonnées généralisées appropriées et déterminer le Lagrangien de la particule. 2. En déduire les équations du mouvement de Lagrange et montrer que le mouvement est équivalent à celui d’une particule à une dimension dans un potentiel efficace V eff à déterminer ? Un travail individuel de chacun de vous est souhaité A remettre au plus tard le dimanche 30 Janvier 2022 H.KHELFANE Page 1 uploads/Industriel/ devoir-de-mecanique-analytique.pdf