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MATHÉMATIQUES & APPLICATIONS Directeurs de la collection: G. Allaire et M. Bena

MATHÉMATIQUES & APPLICATIONS Directeurs de la collection: G. Allaire et M. Benaïm 47 M A T H É M A T I Q U E S & A P P L I C A T I O N S Comité de Lecture / Editorial Board Grégoire Allaire CMAP, École Polytechnique, Palaiseau allaire@cmapx.polytechnique.fr Michel Benaïm Mathématiques, Univ. de Neuchâtel michel.benaim@unine.ch Thierry Colin Mathématiques, Univ. de Bordeaux 1 colin@math.u-bordeaux.fr Marie-Christine Costa CEDRIC, CNAM, Paris costa@cnam.fr Gérard Degrez Inst. Von Karman, Louvain degrez@vki.ac.be Jean Della-Dora LMC, IMAG, Grenoble jean.della-dora@imag.fr Jacques Demongeot TIMC, IMAG, Grenoble jacques.demongeot@imag.fr Frédéric Dias CMLA, ENS Cachan dias@cmla.ens-cachan.fr Nicole El Karoui CMAP, École Polytechnique Palaiseau elkaroui@cmapx.polytechnique.fr Marc Hallin Stat. & R.O., Univ. libre de Bruxelles mhallin@ulb.ac.be Laurent Miclo LATP, Univ. de Provence laurent:miclo@latp.univ-mrs.fr Huyen Pham Proba. et Mod. Aléatoires, Univ. Paris 7 pham@math.jussieu.fr Valérie Perrier LMC, IMAG, Grenoble valerie.perrier@imag.fr Dominique Picard Proba. et Mod. Aléatoires, Univ. Paris 7 picard@math.jussieu.fr Robert Roussarie Topologie, Univ. de Bourgogne, Dijon roussari@satie.u-bourgogne.fr Claude Samson INRIA Sophia-Antipolis claude.samson@sophia.inria.fr Bernard Saramito Maths Appl., Univ. de Clermont 2 saramito@ucfma.univ-bpclermont.fr Annick Sartenaer Mathématique, Univ. de Namur annick.sartenaer@fundp.ac.be Zhan Shi Probabilités, Univ. Paris 6 zhan@proba.jussieu.fr Sylvain Sorin Equipe Comb. et Opt., Univ. Paris 6 sorin@math.jussieu.fr Jean.Marie Thomas Maths Appl., Univ. de Pau Jean-Marie.Thomas@univ-pau.fr Alain Trouvé Inst. Galilée, Univ. Paris 13 trouve@zeus.math.univ-paris13.fr Jean-Philippe Vial HEC, Univ. de Genève jean-philippe.vial@hec.unige.ch Bernard Ycart Maths Appl., Univ. Paris 5 ycart@math-info.univ-paris5.fr Enrique Zuazua Matemáticas, Univ. Autonóma de Madrid enrique.zuazua@uam.es Directeurs de la collection: G. Allaire et M. Benaïm Instructions aux auteurs: Les textes ou projets peuvent être soumis directement à l’un des membres du comité de lecture avec copie à G. Allaire ou M. Benaïm. Les manuscrits devront être remis à l’Éditeur sous format LaT EX 2e. Claude Le Bris Syst` emes multi-´ echelles Mod´ elisation et simulation With 35 Figures 123 Claude Le Bris École Nationale des Ponts et Chaussées avenue Blaise Pascal 6-8 77455 Marne La Vallée Cedex 2, France lebris@cermics.enpc.fr Library of Congress Control Number: 2005926659 Mathematics Subject Classification (2000): 35xx, 49xx, 60Hxx, 65xx, 74Bxx, 76Dxx, 81Vxx ISSN 1154-483X ISBN-10 3-540-25313-0 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-25313-6 Springer Berlin Heidelberg New York Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. Toute représentation, reproduction intégrale ou partielle faite par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Springer est membre du Springer Science+Business Media © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005 springeronline.com Imprim´ e en Allemagne Imprim´ e sur papier non acide 41/3142/YL - 5 4 3 2 1 0 - Pr´ eface Ce cours est une introduction ` a la probl´ ematique des syst` emes multi-´ echelles du point de vue du math´ ematicien appliqu´ e. Il se compose d’une mosa¨ ıque d’exemples dont le seul lien est d’appartenir ` a la tr` es grande famille des probl` emes issus de la physique au sens large qui pr´ esentent pour leur mod´ elisa- tion et leur simulation cette diﬃcult´ e essentielle de comporter en leur sein des ´ echelles de temps ou d’espace tr` es diﬀ´ erentes. Nous n’avons aucune pr´ etention ` a la g´ en´ eralit´ e. Le choix des sujets ´ evoqu´ es ici est une pure aﬀaire de circonstances (les sujets sont, plus ou moins, dans le domaine de comp´ etence de l’auteur1). En revanche le choix est d´ elib´ er´ e d’avoir choisi d’aborder – des domaines aussi diﬀ´ erents que la m´ ecanique des solides, la m´ ecanique des mat´ eriaux lamellaires, la chimie mol´ eculaire, la dynamique des ﬂuides polym´ eriques, la cin´ etique des r´ eactions chimiques, – sous des points de vue aussi diﬀ´ erents (mais aussi intimement li´ es) que la physique, l’analyse math´ ematique, l’analyse num´ erique, la program- mation. L’ordre dans lequel ces mod´ elisations et techniques de simulation sont pr´ esent´ ees est relativement modulable. Le lecteur pourra se reporter directe- ment ` a sa discipline de pr´ edilection sans pour autant trop souﬀrir de faire l’impasse sur les autres chapitres, qui ont volontairement ´ et´ e con¸ cus comme ind´ ependants. Cela dit, on ne saurait trop l’encourager ` a tout lire. Il trouvera alors peut-ˆ etre une unit´ e insoup¸ conn´ ee dans ce texte, et, au-del` a de ce simple texte, dans le traitement des syst` emes multi´ echelles. Sch´ ematiquement, devant un probl` eme pr´ esentant diverses ´ echelles de temps ou d’espace, le math´ ematicien dispose des strat´ egies suivantes – 1 - attaquer directement le syst` eme tel quel en le simulant avec des techniques tr` es eﬃcaces (mais peut-ˆ etre coˆ uteuses) ; un exemple est le 1ou au moins dans le champ de comp´ etence de ses coll` egues les plus proches ! VI Pr´ eface cas des sch´ emas implicites pour les syst` emes d’´ equations diﬀ´ erentielles raides que nous verrons au Chapitre 5, – 2 - eﬀectuer un pr´ etraitement du syst` eme visant ` a faire disparaˆ ıtre les petites ´ echelles pour ne laisser ` a simuler que les grandes ; un exemple est la th´ eorie et la pratique de l’homog´ en´ eisation que nous pr´ esenterons au Chapitre 2 ; un autre celui de la dynamique adiabatique pour les syst` emes mol´ eculaires au Chapitre 3 (li´ e ` a l’exemple de la r´ eduction de syst` emes dynamiques au Chapitre 5) – 3 - choisir de g´ erer conjointement, mais de fa¸ cons diﬀ´ erentes, les petites et les grandes ´ echelles dans le syst` eme ; il en va ainsi de la m´ ecanique pour les mat´ eriaux ` a microstructure, qu’ils soient solides et nous les verrons au Chapitre 1, ou ﬂuides, et nous les aborderons au Chapitre 4. Ce qui motive le choix d’une strat´ egie est comme d’habitude un com- promis. Mais, encore sch´ ematiquement, on pourrait dire que c’est aussi la disproportion entre les ´ echelles petites et grandes qui contribue grandement ` a la d´ ecision. Pour un probl` eme o` u les ´ echelles sont franchement s´ epar´ ees, de plusieurs ordres de grandeur au besoin, tout plaide pour la strat´ egie 2, mais la 3 peut aussi convenir. La premi` ere n’est pas conseill´ ee. Pour les probl` emes o` u la disproportion n’est pas si grande, l’approche 1 est possible, mais les approches 2 et 3 pourront aussi ˆ etre envisag´ ees. Le lecteur pourra se faire lui-mˆ eme son opinion sur certains cas pratiques apr` es la lecture de ce document. Parcourons-le rapidement. Le Chapitre 1 pr´ esente une strat´ egie permettant de coupler, pour la simu- lation de la d´ eformation d’un corps solide, une description microscopique de la d´ eformation du mat´ eriau dans les r´ egions tr` es fortement d´ eform´ ees, avec une description plus classique en termes de m´ ecanique des milieux continus en d’autres zones du mat´ eriau. On manipulera dans ce chapitre les ´ equations de l’´ elasticit´ e ⎧ ⎨ ⎩ −div T = f, dans le mat´ eriau T · n = g, sur son bord (0.1) o` u T d´ esigne le tenseur des contraintes mais aussi une description atomique des solides. Une logique de changement d’´ echelle sera aussi abord´ ee, donnant ainsi un exemple d’un cas o` u le niveau microscopique va nourrir le niveau macroscopique en lui fournissant une information. Le Chapitre 2 est le plus math´ ematique de tous. On y expliquera les techniques d’homog´ en´ eisation d’abord sur le plan de l’analyse math´ ematique, puis sur le plan de sa pratique num´ erique. L’exemple canonique est celui de l’´ equation −d dx(a(x ε ) d dxuε) = f, (0.2) o` u la fonction a(x ε ) est une fonction p´ eriodique de petite p´ eriode ε. Plutˆ ot que d’attaquer la r´ esolution de cette ´ equation, on va chercher l’´ equation limite Pr´ eface VII obtenue quand ε − →0 et r´ esoudre cette ´ equation limite. On d´ etaillera cette strat´ egie, et on l’appliquera ensuite non seulement ` a une ´ equation, mais aussi aux conditions aux bords d’une ´ equation, abordant ainsi le traitement des couches limites (en thermique, en turbulence,...). Au Chapitre 3, on traite des syst` emes mol´ eculaires mod´ elis´ es par la chimie quantique. Les objets qu’on manipule sont des ´ electrons (l´ egers et rapides) et des noyaux (lourds et lents). Comprendre comment l’´ equation de Schr¨ odinger i ∂ ∂tΨ = H Ψ, (0.3) tr` es belle mais non traitable dans la pratique num´ erique, peut ˆ etre rem- plac´ ee par une de ses approximations plus abordable num´ eriquement, sera le coeur du d´ ebat. On verra aussi dans ce chapitre comment mod´ eliser et si- muler un syst` eme mol´ eculaire en phase condens´ ee, ce qui est un autre type de probl` uploads/Industriel/ systemes-multi-echelles.pdf