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Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 1 Les lois usuelles Plan 1 La loi Binomiale 1

Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 1 Les lois usuelles Plan 1 La loi Binomiale 1.1 Définitions 1 1.2 Propriétés 1.3 Exemple 2 La loi de Poisson 2.1 Définitions 3 2.2 Propriétés 2.3 Utilisation 2.4 Exemple 3 La loi Normale 3.1 Définition 5 3.2 Calculs pratiques 3.3 Propriétés 3.4 Utilisation 3.5 Théorème central-limite 1. La loi Binomiale (variable discrète) 1.1 Définition Ces résultats peuvent être appelés succès et échec. On répéte l'expérience n fois dans des épreuves indépendantes. Soit X, la variable aléatoire associée au nombre de succès au cours des n épreuves. X suit une loi binomiale de paramètres n et p. La probabilité d'avoir k expériences réussies est : Quelques exemples de variables binomiales Soit une expérience élémentaire qui donne 2 résultats possibles. On note: p, la probabilité d'avoir un succès. La probabilité d'avoir un échec est donc 1-p. Savoir-faire EXCEL = utiliser les fonctions - COMBIN(nombre_éléments; no_éléments_choisis) - FACT(nombre) - LOI.BINOMIALE(nombre_succès; tirages; probabilité_succès; cumulative) P(X k) = p (1 p) n k k (n k) C avec n k C n! k!(n - k)! = − − = Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 2 - le nombre de produits défectueux sur un ensemble de 10 produits - le nombre de personnes se déclarant prêtes à acheter un certain produit, après un essai. Application numérique Si n vaut 10 k vaut 4 p vaut 0.2 La valeur de P(X=k) fournie par la fonction EXCEL est : 0.088 1.2 Propriétés è è E(X) = np è Var(X) = np(1-p) 1.3 Exemple E1 La probabilité qu'un client visité effectue un achat est évaluée à p = 0.20 Si un vendeur visite 10 clients éventuels, quelle est la probabilité qu'il obtienne exactement 4 achats ? Réponse 0.088 x P(X=x) 0 0.107 1 0.268 2 0.302 3 0.201 4 0.088 5 0.026 6 0.006 7 0.001 8 0.000 9 0.000 10 0.000 Si X1 suit une loi binomiale de paramètre n1 et p et X2 suit une loi binomiale de paramètre n2 et p Alors Y = X1+X2 suit une loi binomiale de paramètre n1+n2 et p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 Loi binomiale Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 3 2. La loi de Poisson (variable discrète) 2.1 Définition La loi de POISSON de paramètre m est définie par : Application numérique Si m vaut 3 et k vaut 4 La valeur de P(X=k) fournie par la fonction EXCEL est : 0.168 2.2 Propriétés è è E(X) = V(X) = m Cette dernière propriété pourra aider à juger si on a une loi de Poisson. 2.3 Utilisation Pour quelques applications, la loi de Poisson est un "bon modèle" - arrivées de clients à un service - pannes de machine - occurence de sinistres (compagnie d'assurances) - etc... 2.4 Exemple E2 Un atelier de réparation de machines reçoit en moyenne , 5 Si X1 suit une loi de Poisson de paramètre m1 et X2 suit une loi de Poisson de paramètre m2 Alors Y = X1+X2 suit une loi de Poisson de paramètre m1+m2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.000 0.050 0.100 Savoir-faire EXCEL = utiliser la fonction - LOI.POISSON(x; espérance; cumulative) voir AIDE EN LIGNE P(X k) e m k -m k = = ! Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 4 appels de service par heure. La variable aléatoire associée à ce nombre suit une loi de Poisson de paramètre 5 La probabilité d'avoir 3 appels durant une certaine heure est: P ( X = 3 ) = 0.140 x p(X=x) 0 0.0067 1 0.0337 2 0.0842 3 0.1404 4 0.1755 5 0.1755 6 0.1462 7 0.1044 8 0.0653 9 0.0363 10 0.0181 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0000 0.0250 0.0500 0.0750 0.1000 0.1250 0.1500 0.1750 0.2000 Loi de Poisson Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 5 3. La loi Normale (variable continue) 3.1 Définition La loi normale (on parle aussi de loi de Laplace-Gauss) est une loi continue ayant pour fonction de densité: Cette fonction a une courbe d'allure bien connue: la fameuse "cloche" Voici la "cloche" correspondant (c.à.d d'espérance nulle et d'écart-type égal à 1) Des lois normales de même moyenne m, et d'écart-types différents "ont des cloches" plus ou moins aplaties. µ étant l'espérance de cette loi et σ l'écart-type à la loi normale centrée réduite -3 -2 -1 0 1 2 3 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Distribution Normale Centrée Réduite Probabilité f(x) x = − 1 2 2 2 2 σ π µ σ e _( ) 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 0.03 0.05 0.08 0.1 0.13 0.15 0.18 0.2 0.23 0.25 0.28 0.3 0.33 0.35 0.38 0.4 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 6 3.2 Calculs pratiques La probabilité qu'une variable prenne une valeur entre a et b est égale à Mais ce n'est pas cette formule mathématique qui est importante. Ce qui est important pour la pratique, c'est - d'avoir compris que cette même valeur est égale à l'aire de la surface située sous la courbe entre les "droites verticales" passant en a et b - de savoir utiliser une table ou un logiciel pour calculer une telle valeur. Exemples E3 Soit X, une v.a. normale centrée réduite. La probabilité d'avoir X inférieur ou égal à 1 est 0.8413 E4 On suppose que la durée de vie d'une ampoule suit une loi normale de moyenne : 750 h et d'écart-type : 80 Quelle est la probabilité qu'une ampoule ait une durée de vie inférieure à 800 ? Réponse 0.734 Quelle est la probabilité qu'une ampoule ait une durée de vie entre 750 et 800 ? Réponse 0.234 -3 -1 1 3 Distribution Normale Centrée Réduite Probabilité Savoir-faire EXCEL Inutile d'utiliser une table et de centrer et réduire la variable, il existe 4 fonctions: - LOI.NORMALE.STANDARD(x) - LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(probabilité) - LOI.NORMALE(x; espérance; écart_type; cumulative) - LOI.NORMALE.INVERSE(probabilité; espérance; écart_type) f(x)dx a b ∫ a b Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 7 3.3 Propriétés è 3.4 Utilisation La loi normale est un modèle largement utilisé dans tous les domaines. 3.5 Théorème central-limite et de même type de loi. Lorsque n est suffisamment grand, de paramètres : Ce théorème est très important, car il est à la base de la statistique inférentielle. Il renforce l'intérêt pratique de la loi normale qui est une sorte de "loi-limite" pour toutes les lois. Même quand une distribution n'est pas normale, la somme (ou la moyenne) d'un nombre suffisant de valeurs de cette distribution sera approximativement normalemement distribuée. Si X1 suit une loi normale d'espérance E(X1) et de variance Var(X1), et si X2 suit une loi normale d'espérance E(X2) et de variance Var(X2), et si X1 et X2 sont indépendantes Alors Y = X1+X2 suit une loi normale d'espérance E(X1) + E(X2) et de variance Var(X1) + Var(X2) Soient X1,X2,...,Xn, n variables aléatoires indépendantes Y = X1+...+Xn suit approximativement une loi normale - moyenne = somme des moyennes des Xi - variance = somme des variances des Xi Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 8 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 9 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 10 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 11 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 12 . Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 13 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 14 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 15 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 16 3 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 17 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 18 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 19 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 20 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 21 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 22 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 23 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 24 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 25 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 26 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 27 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 28 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 29 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 30 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 31 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 32 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 33 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 34 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 35 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 36 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 37 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 38 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 39 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 40 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 41 0 moyenne 10 10 10 sigma 1 1.5 2 -3 0 3.9 0 0 0 -2.9 0.01 4 0 0 0 -2.8 0.01 4.1 0 0 0 -2.7 0.01 4.2 0 0 0 -2.6 0.01 4.3 0 0 0 -2.5 0.02 4.4 0 0 0 -2.4 0.02 4.5 0 0 0 -2.3 0.03 4.6 0 0 0.01 -2.2 0.04 4.7 0 0 0.01 -2.1 0.04 4.8 0 0 0.01 Classeur "Lois" - Feuille "Cours" 42 -2 0.05 4.9 0 0 0.01 -1.9 0.07 5 0 0 0.01 -1.8 0.08 5.1 0 0 0.01 -1.7 0.09 5.2 0 0 0.01 -1.6 0.11 5.3 0 0 0.01 -1.5 0.13 5.4 0 0 0.01 -1.4 0.15 5.5 0 0 uploads/Industriel/ lois-usuelles.pdf