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Probabilités - Loi normale Brochure 27 Loi normale Maintenance Une usine assure

Probabilités - Loi normale Brochure 27 Loi normale Maintenance Une usine assure le conditionnement d'un très grand nombre de bouteilles d'un certain type. On désigne par X la variable aléatoire qui, à toute bouteille prise au hasard, associe sa contenance exprimée en litres. On admet que lorsque la machine est bien réglée X suit la loi normale de moyenne 1 L et d'écart type 0,01 L. a) Quelle est, à 4 10− près, la probabilité p1 qu'une bouteille, prise au hasard, contienne moins de 0,98 L . b) La capacité maximale d'une bouteille est de 1,025 L ; quelle est, à 4 10− près, la probabilité p2 qu'une bouteille, prise au hasard, contienne plus de 1,025 L ?  Groupement B 2000 Une entreprise industrielle utilise de grandes quantités d'un certain type de boulons. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre de la tête ou le diamètre du pied d'un boulon est conforme à la norme en vigueur. Un boulon de ce type est considéré comme conforme pour le diamètre de sa tête si celui-ci est, en millimètres, compris entre 25,30 et 25,70. On note D la variable aléatoire qui, à chaque boulon choisi au hasard dans un lot très important, associe le diamètre de sa tête. On suppose que D suit la loi normale de moyenne 25,50 et d'écart type 0,10. Déterminer, à 2 10− près, la probabilité qu'un boulon choisi au hasard dans le lot soit conforme pour le diamètre de la tête.  Étude et économie de la construction Une entreprise de travaux publics a un parc total de 150 camions. On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque camion choisi au hasard, associe la distance qu'il a parcourue dans une journée. (Les distances sont mesurées en kilomètres). Une étude statistique a montré que cette variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 120 et d'écart type 14. Déterminer à 3 10− près la probabilité qu'un camion parcourre un jour donné une distance comprise entre 110 et 130 kilomètres.   1  Probabilités - Loi normale Brochure 27 Travaux publics Une entreprise de Travaux publics décide de s'équiper d'une table de coffrage pour fabriquer elle- même ses bordures. On note L la variable aléatoire associant à chaque bordure tirée au hasard de la production sa longueur. On admet que L suit la loi normale de paramètres µ = 100 cm et σ = 0,5 cm. On prélève une bordure au hasard. a) Calculer, à 3 10− près, la probabilité qu'elle mesure plus de 100,6 cm. b) Calculer, à 3 10− près, la probabilité que sa longueur soit comprise entre 99,2 cm et 100,8 cm.  Productique des alliages moulés Une machine fabrique en série des pièces métalliques de forme cylindrique. On désigne par Y la variable aléatoire qui, à chaque pièce tirée au hasard dans la production, associe la mesure en millimètres de son diamètre. A la suite de contrôles statistiques on estime que la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne µ = 16 et d'écart type σ = 0,14. a - Déterminer la probabilité P(Y < 16,2). b - Déterminer la probabilité P(Y > 15,7). c - On accepte les pièces dont le diamètre appartient à l'intervalle [15,7 ; 16,2]. Quelle est à 4 10− près la probabilité qu'une pièce, tirée au hasard dans la production soit acceptée ? Quel rebut peut-on prévoir sur un lot de 1000 pièces ?  Bâtiment Résistance à la compression à 28 jours d'un ciment. Dans la notice concernant les ciments on considère comme élevée la probabilité que la résistance à la compression à 28 jours d'un ciment soit comprise entre 50 mégapascal (MPa) et 60 MPa. On se propose de déterminer cette probabilité. 1° On note X la variable aléatoire qui, à un sac de ciment choisi au hasard dans la fabrication d'une usine, associe sa résistance à la compression à 28 jours. Un croquis sur la notice permet d'admettre que X suit la loi normale de moyenne µ = 55 MPa et d'écart type σ = 3 MPa. Déterminer la probabilité P(50 ≤ X ≤ 60) à 4 10− près, en utilisant éventuellement une interpolation linéaire. 2° La résistance à la compression à 28 jours minimale de chaque sac, garantie par cette usine, est de 45 MPa ; quelle est la probabilité qu'un sac ait une résistance à la compression à 28 jours insuffisante ? Déterminer cette probabilité à 4 10− près en utilisant éventuellement une interpolation linéaire.   2  Probabilités - Loi normale Brochure 27 Informatique de gestion Chaque résultat sera donné avec trois décimales. Une machine fabrique en grande série des disques de verre dont le diamètre doit être 30 millimètres. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque disque pris au hasard, associe son diamètre exprimé en millimètres. Cette variable aléatoire suit la loi normale d’espérance mathématique µ = 30 et d’écart type σ = 0,18. On considère les événements suivants : A « le diamètre est supérieur à 29,76 mm » B « le diamètre est inférieur à 30,14 mm ». 1. Calculer P(A), probabilité de l’événement A. Calculer P(A∩B), probabilité de l’événement « A et B ». 2. Calculer PA(B), probabilité conditionnelle de B sachant que A est réalisé.  Techniques Physiques pour l'Industrie et le Laboratoire Un jouet électronique est fabriqué en grande série. La variable aléatoire qui, à tout jouet électronique aléatoire, associe sa durée de vie, exprimée en milliers d'heures, peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale de moyenne µ = 20 et d'écart type σ = 5. a) Déterminer le réel positif x tel que : P(|X – 20| > x) = 0,08. (P(x – 20 < X < x + 20) = 0,92). b) Calculer la probabilité conditionnelle : P(X < 25 / X > 15). c) Calculer : P(X > 29,8).   3  Probabilités - Loi normale Brochure 27 Électrotechnique Une machine fabrique des pièces de forme circulaire en série. A chaque pièce tirée au hasard on associe son diamètre x exprimé en millimètres. On définit ainsi une variable aléatoire X. On suppose que X suit la loi normale de moyenne µ = 32 et d'écart type σ = 1 (en mm). Pour être utilisable, une pièce doit satisfaire à la norme suivante : 31 ≤ x ≤ 33. 1° Quelle est la probabilité p qu'une pièce soit utilisable ? 2° Prix moyen de fabrication. Le coût de fabrication d'une pièce est noté f. Dans un lot de 100 pièces fabriquées dont le coût de fabrication est donc 100 f, 100 p seulement d'entre-elles sont utilisables ; il en résulte que le prix moyen M de fabrication est M = p f 100 100 = p f . a) Calculer le prix moyen de fabrication avec la machine précédente si f = 10,80 F. Pour diminuer le pourcentage de pièces défectueuses, on pourrait utiliser une machine plus moderne : l'écart type serait de 0,5 mm et X suivrait alors la loi normale n(32 ; 0,5), mais le coût de fabrication f2 serait alors de 12 F pour cette nouvelle machine. b) Calculer, pour cette nouvelle machine, la probabilité p2 qu'une pièce soit utilisable. c) Déterminer le prix de revient moyen M2 de fabrication pour cette nouvelle machine. En déduire la machine que l'on aurait intérêt à choisir.  Mécanique et automatismes industriels Une entreprise fabrique des plaquettes dont la longueur et la largeur sont mesurées en mm. On suppose dans cette partie que L suit la loi normale de moyenne 40 et d'écart type 1,6 et on suppose que la variable aléatoire l qui à chaque plaquette prélevée au hasard dans la production associe sa largeur suit la loi normale de moyenne 25 et d'écart type 1,2. a) On tire au hasard dans la production une plaquette. Quelle est la probabilité d'obtenir une longueur comprise entre 37 et 43 ? Quelle est la probabilité d'obtenir ne largeur comprise entre 22 et 28 ? b) Une plaquette est acceptée si sa longueur est comprise entre 37 et 43 mm et si sa largeur est comprise entre 22 et 28 mm. En admettant que L et l sont des variables aléatoires indépendantes, quelle est la probabilité d'obtenir une plaquette qui soit acceptée ?   4  Probabilités - Loi normale Brochure 27 Biotechnologie Objet de l’exercice : évaluation d’un procédé de fabrication. Un laboratoire veut fabriquer des pilules se composant de deux substances A et B . Pour chaque pilule de la fabrication on considère les masses a et b respectivement des substances A et B qui la constituent. On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque pilule tirée au hasard, associe la masse a de la substance A et Y la variable aléatoire qui associe à chaque pilule la masse b de la substance B. On suppose que ces deux variables aléatoires sont indépendantes et suivent des lois normales de moyennes respectives : mx uploads/Industriel/ loi-normale.pdf