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PROBLEME 1 Les calculs relatifs à la loi normale doivent être détaillés et effe

PROBLEME 1 Les calculs relatifs à la loi normale doivent être détaillés et effectués en utilisant la table fournie. Des billes sont produites en grande série, dans le but de fabriquer des roulements à billes constitués chacun de 15 billes. Les 15 billes d’un roulement doivent être toutes sans défaut. Chaque bille produite peut avoir deux sortes de défaut : - Défaut de diamètre, lorsque le diamètre est inférieur à 15,98 mm ou supérieur à 16,02 mm ; - Défaut de surface, lorsque la surface de la bille présente des microcavités. Pour une bille choisie au hasard, on note : D l’événement : « la bille présente le défaut de diamètre » ; S l’événement : « la bille présente le défaut de surface ». 1) Le diamètre d’une bille choisie au hasard, exprimé en millimètres, est une variable aléatoire X qui suit une loi normale d’espérance mathématique 16 et d’écart type σ. TRAVAIL A FAIRE a) Si = 0,01 quel est à 2 10 près, le pourcentage de billes ayant le défaut de diamètre ? b) Que doit valoir, à 4 10 près, si on veut que 2,5 % seulement des billes aient le défaut de diamètre ? 2) On suppose dans cette question que 2,5 % des billes ont le défaut de diamètre  , 025 , 0 ) (  D P que 1,6 % des billes ont le défaut de surface  016 , 0 ) (  S P , et que les évènements D et S sont indépendants. TRAVAIL A FAIRE On choisit une bille au hasard. a) Calculer à 4 10 près, la probabilité de l’événement E : « la bille présente les deux défauts ». b) Calculer à 4 10 près, la probabilité de l’événement F : « la bille présente au moins un des deux défauts ». 3) On suppose que 4 % des billes sont défectueuses. Les billes sont conditionnées en lot de n billes. On désigne par y le nombre de billes défectueuses parmi les n billes d’un lot, et on suppose que la variable aléatoire y suit la loi binomiale de paramètres n et 04 , 0 . TRAVAIL A FAIRE a) Si , 100  n on admet que la loi de y peut être approchée par une loi de Poisson. En utilisant cette approximation, calculer à 3 10 près, la probabilité qu’il soit possible de faire 6 roulements avec les 100 billes d’un lot. b) Si , 1000  n on admet que la loi de y peut être approchée par une loi normale. En utilisant cette approximation, calculer à 2 10 près, la probabilité qu’il soit possible de faire au moins 65 roulements avec les 1000 billes d’un lot. 4) Un nouvel abrasif ultra fin est essayé dans la phase finale de fabrication des billes, dans le but de diminuer le pourcentage de billes ayant un défaut de surface, l’ancien pourcentage   % 6 , 1 étant jugé excessif. Pour cela, on a testé le nouvel abrasif sur un échantillon aléatoire non exhaustif de 630 billes. On y a trouvé 7 billes présentant le défaut de surface. TRAVAIL A FAIRE A l’aide d’un test d’hypothèse au niveau , 04 , 0   et des résultats de l’échantillon, décider si le nouvel abrasif diminue ou non la proportion de billes ayant le défaut de surface. On notera p la proportion de billes ayant le défaut de surface avec le nouvel abrasif (sur l’ensemble de toutes les billes produites). PROBLEME 2 : Les deux parties de ce problème sont indépendantes. Dans tout le problème, les probabilités demandées seront données à 3 10 près. La société Chocolor produit pour Pâques des œufs en chocolat garnis d’un assortiment de bonbons. PARTIE A Avant d’être garnis et emballés, les œufs sont soumis à un contrôle visuel. On suppose que 5 % des œufs présentent des défauts qui les rendent impropres à la commercialisation. Ces œufs sont rejetés au contrôle avec une probabilité de 96 %. Il arrive aussi, avec une probabilité de 2 %, que des œufs sans défaut soient rejetés au contrôle. Travail à faire 1. Quelle est la probabilité qu’un œuf soit accepté au contrôle ? 2. Sachant qu’un œuf a été accepté au contrôle, quelle est la probabilité qu’il présente des défauts qui le rendent impropre à la commercialisation ? On supposera pour la suite que cette probabilité vaut exactement 0,002. 3. On note N la variable aléatoire qui, à tout lot de 100 œufs pris au hasard parmi ceux acceptés au contrôle associe le nombre d’entre eux qui présentent des défauts les rendant impropres à la commercialisation. a. Déterminer la loi suivie par N et préciser ses paramètres. b. Quelle est la probabilité que, sur 100 œufs pris au hasard parmi ceux acceptés au contrôle, au moins un présente des défauts qui le rendent impropre à la commercialisation ? PARTIE B La masse de chocolat, en grammes, d’un œuf vide est une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance mathématique 50 et d’écart type 3. La masse de garniture pour un œuf est une variable aléatoire Y qui suit la loi normale d’espérance mathématique 78 et d’écart type 4. On suppose que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes. Le chocolat utilisé pour la fabrication des œufs vides coûte 10.000F le kg, et le coût unitaire de fabrication, hors matière première, est estimé à 150 F . La garniture de bonbons coût 18.000F le kg. L’emballage d’une boîte de 20 œufs coûte 200 F . Les œufs garnis sont vendus aux détaillants au prix de 50.000F la boîte de 20. On suppose que les masses des œufs garnis, dans une boîte, sont des variables aléatoires indépendantes. On note : v C le coût unitaire d’un œuf vide ; G C le coût de la garniture pour un œuf ; Et r C le coût unitaire (en tenant compte du coût de l’emballage) d’un œuf garni. On admet que les variables aléatoires V C , G C , r C suivent des lois normales. Travail à faire 1. a. Donner l’expression de V C , de G C et de r C en fonction de X et Y . b. Déterminer, en justifiant les réponses, les paramètres de V C et G C . c. Démontrer que r C a pour espérance mathématique 2064 F et pour écart type 78 F. d. Calculer la probabilité   2100 r P C  . e. Quelle est la probabilité que la marge sur la vente d’un œuf garni soit supérieure à 40 F ? 2. On note C le coût total de fabrication d’une boîte de 20 œufs garnis (tenant compte du prix de l’emballage). a. Expliquer pourquoi C suit une loi normale et déterminer ses paramètres. b. Quelle est la probabilité que la marge sur une boîte de 20 œufs garnis soit supérieure à 8000 F uploads/Industriel/ probleme.pdf