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Processus et signaux aléatoires à temps continu Koffi-Clément YAO MC 61 Départe

Processus et signaux aléatoires à temps continu Koffi-Clément YAO MC 61 Département d’électronique, UFR sciences UBO Laboratoire Lab-STICC, UMR CNRS 6285 Pôle : COM/CACS/Intelligence et Furtivité des Communications (IFC) DETRTSI: Traitement des signaux aléatoires Octobre 2013 2 Sommaire 1. Caractérisation des processus aléatoires 1.1 Notion de processus et signaux aléatoires 1.2 Description statistique d’un processus aléatoire (p. a.) 2. Processus aléatoires du second ordre 2.1 Stationnarité au sens strict et stationnarité au sens large 2.2 Fonctions de corrélation d’un p. a. 2.3 Moyennes temporelles et ergodicité 2.4 Introduction à l’analyse spectrale 3. Filtrage linéaire des processus aléatoires 3.1 Principe du filtrage linéaire (Rappel) 3.2 Formule des moments 3.3. Applications du filtrage 4. Processus aléatoires particuliers 4.1 Le bruit blanc 4.2 Processus aléatoires cyclo-stationnaires 4.3 Processus aléatoires Gaussiens 3 Organisation du cours Traitement des signaux aléatoires (24 CM, 24 TD) Partie 1 : Rappels sur les signaux déterministes (E. RADOI) -----> 6 CM, 6 TD Partie 2 : Processus et signaux aléatoires à temps continu (K. YAO) -----> 12 CM, 12 TD Partie 3 : Processus et signaux aléatoires à temps discret (E. RADOI) -----> 6 CM, 6 TD Enseignements : Cours Magistraux (CM) : 2h x 6 séances = 12 h -----------> Promo (TR + ESCo) Travaux Dirigés (TD) : 2h x 6 séances = 12 h -----------> par Groupe (TR et ESCo) Evaluation : Examen écrit (EE) : 2h dont environ 1h 20 (pour la partie p.a. continus) Contrôle continu (CC) : 1h 30 à 2h (uniquement les signaux déterministes) Moyenne de l’UE = MAX{ EE; (2/3*EE + 1/3*CC)} Enseignants : E. RADOI : CM, TD K. YAO : CM, Y. ZRELLI : TD 4 Ch.1 : Caractérisation des processus aléatoires  Description statistique des p. a. :  Lois de probabilité et fonctions de répartition  Moyennes statistiques  Fonctions de corrélation  Processus indépendants 5 1.1 - Notion de processus aléatoires (1) Objectif du cours :  1.1.1 - Omniprésences des signaux aléatoires  Le modèle de signal déterministe étudié en théorie du signal ne suffit pas pour représenter les signaux naturels (Ex. Signal de parole, électrocardiogramme etc..).  Le hasard intervient dans de nombreux phénomènes naturels. Pour les caractériser, il faut faire appel à la théorie des probabilités et statistiques… Analyser et caractériser les signaux aléatoires en vue de leur exploitation pour des applications en situations réelles (communications, détection, médecine, etc…) Electroencéphalogrammes (Michel Dauzat, fac de médecine Montpellier, 2006) Electrocardiogrammes 6 1.1 - Notion de processus aléatoires (1b) Exemple de graphique du cours de la bourse Signal de parole Signal de communication numérique Exemple d’électrocardiogrammes Exemples de signaux réels 7 1.1 - Notion de processus aléatoires (2) Signal reçu Signal transmis Exemple d’un signal binaire pollué par du bruit blanc additif Gaussien (BBAG ou AWGN) Au cours de la transmission d’un signal déterministe s(t), il subit des perturbations liées au canal de transmission, aux composants du systèmes de transmission etc. En général, on regroupe toutes ces perturbations sous le terme de bruit b(t). Ces dégradations sont, par nature, imprévisibles donc possèdent un caractère aléatoire. Exemple d’une chaîne de transmission numérique 8 1.1 - Notion de processus aléatoires (3) Si on adopte l’hypothèse de bruit additif (à juste titre) dans l’exemple précédent, bien que le signal transmis soit déterministe, on note que le signal reçu est un signal aléatoire puis qu’il résulte de la somme du signal déterministe et du bruit qui est aléatoire. Remarque : La notion de bruit est liée à l’intérêt que présente le signal à traiter pour l’observateur : En effet soit e(t), un signal électromagnétique d’origine cosmique  e(t) = b(t) est un bruit pour les télécommunications  e(t) = s(t) est un signal utile en radioastronomie Hypothèse de bruit additif : Par hypothèse, on suppose que 1. le bruit ܾሺݐሻs’additionne au signal utile ݏሺݐሻ 2. le bruit est indépendant du signal utile Le bruit est donc un signal aléatoire indésirable qui vient polluer le signal utile. Le signal reçu ݔݐൌݏݐ൅ܾሺݐሻ 9 Notion de processus aléatoires (4) Un signal x(t) est dit aléatoire (ou stochastique) si sa réalisation dépend du hasard. On ne connaît pas la valeur de ce signal à un instant futur t donné. Un signal aléatoire peut être considéré comme une réalisation particulière d’une famille de signaux aléatoires, famille que l’on désigne par processus aléatoire. On représente un processus aléatoire par 2 variables : ࢄሺ࢚, ࢿሻ  t désigne la variable temporelle  est une variable qui décrit les lois du hasard 1.1. 2. - Définitions : 10 a) Signal analogique à temps continu et à amplitude continue ሺݐ∈Թ ; ݔݐ∈Թሻ b) Signal échantillonné à temps discret et à amplitude discrète ሺݐ∈Ժ ; ݔݐ∈Ժሻ c) Signal quantifié à temps continu et à amplitude discrète ሺݐ∈Թ ; ݔݐ∈ ሼ ܣ௠ሽ ሻ d) Signal numérique à temps discret et à amplitude quantifié ሺݐ∈Ժ ; ݔݐ∈ ሼ ܣ௠ሽ ሻ Notion de processus aléatoires (5) Classification temporelle des signaux et processus aléatoires Temps continu Temps discret Amplitude discrète Amplitude continue 11  Pour la suite, on notera indifféremment : Notion de processus aléatoires (6) Description d’un processus aléatoire  Exemple d’un p. a. avec 3 réalisations  Lemme : Un processus aléatoire (indifféremment un signal aléatoire) est à puissance moyenne finie non-nulle. 12 1.2 - Caractérisation statistique des processus aléatoires (1) 1.2.1 - Loi de probabilité et fonction de répartition On peut décrire le p. a. ܺሺݐሻcomme une fonction aléatoire dont les réalisations sont données par l’ensemble : On définit l’évènement ሼࢄ࢚൏࢞ሽqui désigne toutes les réalisations ࢿ࢑pour lesquelles le signal aléatoire du p. a . ࢄ࢚, ࢿ n’excède pas l’amplitude ࢞donnée.  En déterminant la probabilité de cet évènement, on définit la fonction de répartition du p. a.  On détermine alors la densité de probabilité (ddp) de cet évènement par : 13 Caractérisation statistique des processus aléatoires (2) Algorithme de la détermination de la DDP d’un p.a. : Soit le p.a. ܺሺݐሻaléatoire suivant le paramètre Φ. Pour déterminer la loi de probabilité du p.a., on ramène le problème à la détermination de la ddp d’une v.a. fonction d’une autre v.a. telle que l’on peut écrire ࢄൌࢍሺ઴ሻoù la fonction ݃ሺ. ሻdéfinit la transformation de la variable aléatoire Φ qui génère la v.a. ܺ. 1. Tracer une réalisation de la fonction de variable aléatoire, soit ݔൌ݃ሺφሻ; 2. Déterminer les solutions ߮௜ୀଵ…ேde l’équation ݔൌ݃ሺφሻ; 3. Appliquer le théorème du gradient (théorème de la transformation) pour déterminer la ddp de ܺ. 14 Caractérisation statistique des processus aléatoires (3) Exemple : Calcul de la ddp d’une sinusoïde à phase aléatoire Soit le p.a. ܺݐൌܽ cos ሺ߱t ൅Φሻoù Φ désigne une v.a. uniformément distribuée sur ሾ0 ; 2ߨሿ, ܽet ߱ étant des constantes réelles. Déterminer la ddp du p.a. ܺሺݐሻ. si ݔ൐ܽ , l’équation ݔൌ݃ሺ߮ሻn’a pas de solution donc ݂ ௑ሺݔሻൌ0 si ݔൌേܽ , ݂ ௑ݔൌ0 car la ddp en un point est nulle pour une v.a. continue si ݔ൏ܽ , on obtient 2 solutions ߮ଵet ߮ଶsur le domaine 0 ; 2ߨ Par ailleurs, on détermine les dérivées : Et en appliquant le théorème du gradient on obtient la ddp de ܺݐ: La ddp de Φ : 15 Caractérisation statistique des processus aléatoires (4) Exemple : Calcul de la ddp d’une sinusoïde à phase aléatoire (suite) La ddp de ܺݐ: Graphe de la ddp de ܺݐ: Illustration de la détermination de la ddp de ܺݐ: Lois conjointes : Si on considère 2 instants ݐଵet ݐଶdu p. a. ܺሺݐሻ, on obtient 2 v. a. ܺଵൌܺݐଵ et ܺଶൌܺݐଶ. On peut alors définir une loi conjointe : Fonction de répartition (FdR) conjointe de ܺଵet ܺଶ ddp conjointe de ܺଵet ܺଶ 16 Caractérisation statistique des processus aléatoires (5) 1.2.2. - Description à 1 instant : Un p. a. ܺݐpeut être défini comme une fonction du temps dont la valeur prise à chaque instant ݐ଴donné est une variable aléatoire. On peut donc lui appliquer les notions définies sur les v. a.  Moyenne statistique : Si on considère ܰréalisations du p. a. ܺݐet les valeurs prises par ܺݐà un instant ݐ଴, on peut définir une moyenne statistique (ou moyenne arithmétique) sur l’ensemble des échantillons : Moyenne statistique ou moyenne d’ensemble La mesure (ou l’estimation) de la moyenne d’ensemble se fait à travers le processus. 17 Caractérisation statistique des processus aléatoires (6)  Espérance mathématique : On dit que le p. a. ܺݐest connu à un instant ݐଵsi, quelque soit l’instant ݐଵ, on connaît la loi de probabilité de la variable aléatoire ܺݐଵ. On peut alors la caractériser à l’aide de ses moments. L’espérance mathématique (ou la valeur moyenne) de la v. a. Xଵൌ ܺݐଵest : On définit aussi le moment d’ordre ࢔ de Xଵൌ ܺݐଵpar : Si Xଵest une v. a. continue (VAC). Si Xଵest une v. a. discrète (VAD). avec 18 Caractérisation statistique des processus aléatoires (7)  Variance : La variance ߪ௑ ଶሺݐଵሻdu p. a. ܺݐobservé à l’instant ݐଵdéfinit l’espérance mathématique du moment centré d’ordre 2. ߪ௑ሺݐଵሻdéfinit l’écart-type (Standard deviation) et mesure la dispersion de autour de sa valeur moyenne. Si Xଵest une v. a. continue (VAC) : Si Xଵest une uploads/Industriel/ slidescm-processalea-02oct2013-etud1-2pp.pdf