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Master ASE – Semestre S2 – Commande Linéaire et Numérique TRAVAUX DIRIGES D'IDE

Master ASE – Semestre S2 – Commande Linéaire et Numérique TRAVAUX DIRIGES D'IDENTIFICATION Exercice 1 - M éthodes de base Soit un système linéaire dont la réponse s à un échelon e d'amplitude 2 est la suivante : 1) On choisit comme modèle une fonction de transfert du 1er ordre avec retard de la forme: Lp= K e −Tp 1 p Déterminer graphiquement la valeur du retard, le gain et la constante de temps par plusieurs méthodes (tangente, 63%, temps de montée 10-90%). Comparer les valeurs obtenues. 2) Appliquer la méthode Broïda. Quelles sont les nouvelles valeurs du retard et de la constante de temps? 3) Utiliser la méthode de Strejc. De quel ordre est le modèle obtenu avant arrondi de la valeur donnée par l'abaque puis après? [Représenter la réponse donnée par Strejc sur le graphe des données de mesure]. 4) Comparer les trois méthodes par développement limité du retard pur (simple ou Padé). 5) Pour améliorer la précision de détermination de la constante de temps du modèle avec retard pur, calculer ln(s(∞)−s(t)) pour 1s≤t≤7s et en tracer le lieu en fonction de t . En déduire la valeur de  . page 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 Reponse echelon Temps Réponse Master ASE – Semestre S2 – Commande Linéaire et Numérique page 2 Master ASE – Semestre S2 – Commande Linéaire et Numérique Exercice n°2 - Méthode des moindres carrés La sortie d'un système a été observé à des instants d'échantillonnages réguliers. Le relevé des mesures est le suivant : i 1 2 3 4 t i -2 -1 0 1 yi 0.9 0.1 1.0 3.8 On désire modéliser la sortie avec un modèle de la forme x = c0 c1t c2t 2 Soit i l'erreur entre le modèle xtiet la mesure yi faite à l'instant t i . et J =∑ i=1 4 i 2 l'erreur quadratique cumulée. 1) Tracer le graphe des mesures expérimentales 2) Montrer que les valeurs optimales des coefficients du modèle sont données par : ∑ i=1 4 iti 2 = 0 ∑ i=1 4 iti = 0 et ∑ i=1 4 i = 0 3) Appliquer le calcul aux mesures du tableau. Montrer que le système se ramène à un système de 3 équations à 3 inconnues. Résoudre le système (la résolution par machine à calculer scientifique est vivement recommandée) et donner les valeurs optimales  co ,  c1et  c2 des coefficients du modèle. 4) Déterminer les valeurs  xti du modèle aux instant d'échantillonnage et en déduire J min . 5) Rechercher le minimum de  xt et l'instant t min pour lequel ce minimum est obtenu. La valeur de t min est-elle un instant d'échantillonnage ? Quel sera la valeur de  x2 ? 6) Reprendre la détermination des paramètres optimaux par la méthode matricielle. Exercice n°3 - Estimation d'un signal sinusoïdal Pour déterminer avec précision la fonction de transfert Lpd'un système linéaire, on réalise souvent une analyse fréquentielle par excitation du système par un signal sinusoïdal de fréquence  connue. Le régime permanent du système est sinusoïdal. Le rapport entre l'amplitude de la sortie et l'amplitude de l'entrée a pour valeur le gain ∣Lj ∣et leur déphasage l'argument de Lj . On suppose qu'il a exactement N mesures sur une période T = 2/du signal d'excitation, espacées de T e = T /N . On prend comme modèle du signal de sortie  xt= Acost Bsin t C . Par la méthode des moindres carrés simples, montrer que  A = 2 N ∑ i yiT ecosi T e  B = 2 N ∑ i yiT esini T e  C = 1 N ∑ i yiT e Le calcul diffère-t-il de celui de la décomposition en série de Fourier. Peut-on déceler une éventuelle non-linéarité par estimation des raies d'ordre supérieur ou égal à 2 ? page 3 Master ASE – Semestre S2 – Commande Linéaire et Numérique Exercice n°4 - Linéarisation d'un modèle On considère un système du 1er ordre dont on désire estimer les paramètres caractéristiques à partir de l'observation de la réponse impulsionnelle. Le relevé de la réponse impulsionnelle a donné : t 0 1 2 3 4 5 y(t) 1.9 1.2 0.75 0.5 0.2 0.2 1) Donner la forme théorique x(t) de la réponse impulsionnelle du circuit du premier ordre. Est-elle linéaire par rapport aux paramètres K et a (démonstration) ? 2) Pour linéariser le modèle, on se propose de former x1t= lnxten posant k = lnK. Le modèle x1test-il linéaire par rapport à ses paramètres? 3) Déterminer  a et  k à partir des mesures par la méthode des moindres carrés. En déduire  K , ainsi que les valeurs de  xtaux instant de mesure. 4) Peut-on appliquer la même méthode au système K p a 2 ? Exercice n°5 - Estimateur glissant Soit un signal échantillonné à la cadence T e . On observe le signal sur une fenêtre [horizon] de 2p1points centrés autour de la nième mesure prise comme point de référence. Ces 2p1mesures sont modélisées par un modèle d'équation : xt= a b t . 1) Peut-on prendre comme origine du problème l'instant nT e au lieu de l'instant t=0 en posant t = nT e ? En déduire que le modèle peut s'écrire xn= an bnavec −pT epT e . 2) Déterminer les coefficients de modélisation optimaux au sens des moindres carrés  an et  bn à partir des 2p1mesures faites. En déduire qu'ils sont obtenus par calcul d'une somme pondérée des mesures. 3) Quelles sont les valeurs de  xnT e et celle de  ˙ xnT e? 4) Chaque mesure est entachée d'une erreur aléatoire de variance  2 . Quelles sont les variances des paramètres estimés? Comment évoluent ces incertitudes en fonction de p ? 5) Reprendre l'étude avec un modèle xt= a b t c t 2 page 4 K p a et= t yt Master ASE – Semestre S2 – Commande Linéaire et Numérique Exercice n°6 - Moindres carrés récursifs sur un modèle scalaire Soit un ensemble de mesures yi dont le modèle est xt= a t . Les mesures sont les suivantes : t en s 1 2 3 y(t) 1.9 4.1 5.9 1) Déterminer la valeur optimale  a du modèle pour le jeu de mesures considéré, en utilisant la méthode des moindres carrés simples. 2) On désire calculer la valeur prise par le modèle pour t = 4s , en utilisant la méthode de récurrence simplifiée construite à partir du résultat de rang 3. Déterminer les éléments intervenant dans la méthode récurrente, en particulier h4 T , R4 = H 4 T H 4 et Q4 = H 4 T Y 4 . En déduire la valeur de  a4 pour une mesure y4 = 8,2 . 3) Définir les éléments intervenant dans la méthode de récurrence générale, en particulier hn1 T ,K n1 et Pn1 . Pour des valeurs initiales P0 = 100 et  a0 = 1 , déterminer les estimations successives  a1 ,  a2 ,  a3 et  a4 Exercice n°7 - Moindres carrés récursifs sur un modèle à plusieurs paramètres Soit un ensemble de mesures yi dont le modèle est xt= a0 a1 t . Les mesures sont les suivantes: t 0 1 2 y(t) 1 2 3 1) Définir les éléments intervenant dans la méthode récurrente, en particulier hn1 T ,kn1 et Pn1 . On choisira comme valeurs initiales P00 = 1000 I et 00 = 0 . 2) Pour chaque instant de mesure, calculer la valeur des paramètres prises par le modèle et la valeur de y donnée par le modèle (on veillera à conserver la précision des calculs pour éviter tout blocage de l'algorithme). Commenter le comportement du modèle. Exercice n°8 - Modélisation AR d'un système Soit un système linéaire du premier ordre de gain K et de constante de temps , paramètres dont on désire estimer la valeur par les moindres carrés à partir d'une observation échantillonnée de l'entrée et de la sortie. L'observation des signaux aux instants d'échantillonnage a donné les mesures suivantes: n 1 2 3 4 u(n) 1 -1 1 1 y(n) 1.04 -0.52 0.74 1.37 page 5 Master ASE – Semestre S2 – Commande Linéaire et Numérique 1) Montrer qu'un système du premier ordre discrétisé a pour équation de récurrence yn= a1 yn−1b0 un(utiliser la méthode d'Euler pour discrétiser la dérivée). Donner l'expression de a1 et b0 en fonction de K , T e et . 2) Par la méthode des moindres carrés simples, construire la matrice H permettant de déterminer de façon optimale les paramètres  a1 et  b0 du modèle discret. En déduire les valeurs de K et  pour une période d'échantillonnage de 1s . 3) Mettre en place la méthode récursive d'estimation des paramètres; préciser la structure du vecteur hn1 T de problème. Itérer la méthode à partir des conditions initiales uploads/Industriel/ td-identif.pdf