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UIPA, Licence 1 UE: Semestre 1 Année Universitaire 2020/2021 Travaux dirigés de

UIPA, Licence 1 UE: Semestre 1 Année Universitaire 2020/2021 Travaux dirigés de Mathématique: Algèbre 1.. Logique, Application, Relation binaire Exercice 1 Nier les assertions suivantes : - Tous les étudiants de la Licence 1 sciences économiques sont des bavards. - Il y a au moins un étudiant de l’U.I.P.A qui aime les mathématiques. - Dans toutes les universités, tous les étudiants détestent tous les enseignants. - Pour tout entier x, il existe un entier y tel que pour tout entier z, la relation z < y implique la relation z < x + 1. Exercice 2 Soient E et F des ensembles. Soit f : E →F une application. Soit R la relation sur E déﬁnie par: ∀x ∈E, ∀y ∈E, xRy ⇐ ⇒f(x) = f(y). Montrer que R est une relation d’équivalence. Exercice 3 Si a et b sont deux réels, on note fa,b l’application fa,b : R →R x 7→ax + b (1) Déterminer pour quelles valeurs de (a, b) la fonction fa,b est injective. (2) Déterminer pour quelles valeurs de (a, b) la fonction fa,b est surjective. (3) Lorsque fa,b est bijective, déterminer son apllication réciproque. (4) Montrer si fa,b = fc,d alors (a, b) = (c, d). (5) Interpréter le résultat précédent en termes d’injectivité d’une certaine application. Exercice 4 Soit R la relation binaire dans E = {0, 1, 2, 3, 4} déﬁnie par xRy si seulement si x + y est divisible par 3. (1) R est-elle réﬂexive? (2) R est-elle symétrique ? antisymétrique ? (3) Montrer que R n’est pas transitive. 2.. Polynômes et fractions rationnelles Exercice 5 Décomposer dans R[X] la fraction rationnelle suivants: K(X) = X3 + 1 X3 −5X2 + 6X F(X) = 2X3 + X2 −X + 1 X2 −3X + 2 . 1 UIPA, Sciences Economiques, Licence 1 2020/2021 3.. Matrices et systèmes d’équations linéaires Exercice 6 On considère la matrice suivante: A =    1 1 −1 4 −1 −1 0 0 2    (1) Calculer la matrice des cofacteurs de A et le déterminant de A. (2) En déduire que A est inversible et déterminer son inverse par deux méthodes diﬀérentes. Exercice 7 Calculer le déterminant de la matrice    1 1 1 x y z x2 y2 z2    et déterminer la condition d’inversibilité. Exercice 8 Calculer les déterminants des matrices suivantes et inverser les si possible.       1 −1 0 0 2 1 0 0 0 0 1 2 0 0 2 1             1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 −1 0 0 1 0 −1       Exercice 9 Etudier l’existence et l’unicité de la solution du système Ax = B en fonction des paramètres a et b A =    1 1 1 2 −1 −1 −1 2 a    B =    3 0 b    Exercice 10 On considère le système linéaire:      (m −1)x + 2y + 2z = m −1 2x + (m + 1)y + z = m −2 −2x −3y + (m −3)z = m −3 m ∈R (1) Pour quelle(s) valeurs(s) du paramètre m le système est-il de Cramer? (2) Résoudre le système pour m = 3. Exercice 11 Une entreprise fabrique trois produits A, B et C. Tous sont passés par trois processus qui se réalisent dans trois machines M1, M2, et M3. Le temps (exprimé en heure) nécessaire pour la fabrication d’une unité de chaque produit dans chacune des trois machines est donné par: Produit A: 3h dans M1, 1h dans M2, 2h dans M3. 2 2020/2021 Produit B: 1h dans M1, 2h dans M2, 1h dans M3. Produit C: 2h dans M1, 4h dans M2, 1h dans M3. (1) On dispose de la machine M1 durant 850 heures, de la machine M2 durant de 1.200 heures, et de la machine M3 durant 550 heures. Combien d’unités de chaque produit on peut fabriquer si le but est d’utiliser tout le temps disponible pour les trois machines? (2) On suppose qu’on dispose des machines M1, M2 et M3 durant 1.200, 900 et 1.100 h respec- tivement. Que se passe- t-il dans ce cas? 4.. Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 12 On considère l’espace vectoriel E = R3 muni des bases B = {e1, e2, e3} avec e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) et B = {u, v, w} avec u = e1 −e3; v = −e2; w = e1 + e3. Soit f l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est donnée par: A = mat(f, B) =    1 0 2 0 −1 0 2 0 1    (1) Soit x = e1 + 2e2 −e3. Donner f(x). (2) Calculer le déterminant de A. La matrice A est-elle inversible? (3) Calculer f(u), f(v) et f(w). (4) En déduire la matrice D = mat(f, B′) (5) Donner la matrice de passage P de la base B vers B′. (6) Calculer l’inverse de P. (7) Vériﬁer que A = PDP −1 (8) Calculer A2. En déduire An pour tout n ∈N. Exercice 13 Considérons l’application linéaire f : R2 →R3, déﬁnie par: f(u1 + u2) = (2, −2, 1); f(u2) = (−2, 2, −1); u1(1, −1); u2 = (2, 1). On demande (1) Donner l’expression matricielle de l’application linéaire f relative aux bases {u1, u2} de R2 et la base canonique de R3. (2) Donner l’expression matricielle de l’application linéaire f relative aux bases canoniques de R2 et R3. (3) Déterminer Ker(f) et Im(f) en donnant les dimensions et des bases. f est-elle injective ? f est-elle surjective? Exercice 14 Soit f un endomorphisme de R3 dont la matrice associée aux bases canoniques est:    3 4 −a 2 6 −2a 1 3 1 + a    (1) Déterminer la valeur (ou les valeurs) de a pour que l’endomorphisme f soit injective. 3 UIPA, Sciences Economiques, Licence 1 2020/2021 (2) Trouver une base du sous-espace vectoriel Im(f), dans le cas où f est injective et aussi dans le cas contraire. Exercice 15 Soit la matrice suivante: A =    3 1 −3 −1 1 1 1 1 −1    On note B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3. Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans B est A. On pose ε1 = (1, 1, 1), ε2 = (1, −1, 0), ε3 = (1, 0, 1) et B′ = (ε1, ε2, ε3). (1) Montrer que B′ est une base de R3. (2) Ecrire la matrice de f dans la base B′. (3) Déterminer une base de kerf et Imf. Exercice 16 On étudie les mouvements des capitaux entre trois pays A, B et C. On déﬁnit le solde de la balance des capitaux d’un pays comme la diﬀérence entre l’entré des capitaux moins leur sortie. Nous savons que dans chaque pays, la situation dépend du type d’intérêt réel en vigueur. Nous résumons l’interprétation de la mani ‘ere suivante: Sa = 0.4Ra −0.5Rb −0.3Rc Sa = −0.3Ra + 0.6Rb −0.4Rc Sc = −0.1Ra −0.1Rb + 0.3Rc (1) Représenter les équations antérieures sous forme matricielle, en justiﬁant qu’il s’agit d’une application linéaire. (2) Determiner Im(f) et Ker(f). Interpréter le résultat. Exercice 17 On considère une économie divisée en trois secteurs: agricole, industriel et services. Soient pa, pb et pc les pourcentages de variation des prix d’une année à une autre dans les secteurs respectifs, que nous représentons par un vecteur p = (pa, pb, pc). Soient w le taux de variation des salaires d’une année à une autre, i le taux de variation des prix d’importation dans la même période et t le taux de variation des impôts, que nous groupons dans le vecteur x = (w, i, t). Nous savons que les composantes du vecteur p dépendent linéairement des composantes du vecteur x, mais nous ignorons la relation concrète qui les relie. Nous savons uniquement qu’une augmentation de 1/100 sur le taux de variation des salaires, en maintenant constants les prix d’importation et des impôts, provoque une augmentation des prix agricoles de 2/100, industriels de 1.5/100 et celui du secteur des services de 2/100 , c’est à dire, f(1, 0, 0) = (2, 3/2, 2). Si l’augmentation concerne les prix d’importation: f(0, 1, 0) = (3/2, 3/2, 1)et si l’augmentation concerne les prix des impôts: f(0, 0, 1) = (1, 1, 3/2). On demande: (1) La matrice de l’application linéaire qui relie les vecteurs x et p. Donner l’expression explicite de l’application f. 4 2020/2021 (2) On attend que la prochaine année les salaires augmentent de 8/100, les prix d’importation de 2/100 et la pression ﬁscale de 10/100. Dans quel secteur augmentent plus les prix? (3) Peut-on maintenir les prix des trois secteurs uploads/Industriel/ td-math-uipa.pdf