Lycée JANSON DE SAILLY 09 octobre 2017 MATRICES Tle ES 4 Spécialité ACTIVITÉ 1

Lycée JANSON DE SAILLY 09 octobre 2017 MATRICES Tle ES 4 Spécialité ACTIVITÉ 1 Une entreprise fabrique deux types de produits notés A et B. Ces produits sont fabriqués sur trois sites de production S1, S2 et S3. En septembre 2016 : — le site S1 a fabriqué 50 milliers d’articles A et 70 milliers d’articles B; — le site S2 a fabriqué 40 milliers d’articles A et 90 milliers d’articles B; — le site S3 a fabriqué 120 milliers d’articles B; On représente la production du mois de septembre à l’aide de la matrice P 0 = 50 40 0 70 90 120  . La production du mois d’octobre 2016 est donnée par la matrice P 1 = 60 50 0 70 90 120  . PARTIE A 1. Déterminer la matrice T1 représentant la production totale des mois de septembre et octobre pour chaque site. 2. En novembre 2016, pour faire face à la demande, la direction décide d’augmenter de 10% la production du mois d’octobre de chaque article, dans chaque site. Déterminer la matrice P 2 représentant la production de novembre 2016. PARTIE B 1. Le coût de la main d’œuvre est le même pour chaque article fabriqué, mais il diffère selon le site de production. Pour S1 le coût de la main d’œuvre est de 25 C; pour S2, il est de 28 C; pour S3, il est de 30 C. a) Calculer le coût de la main d’œuvre, en octobre 2016, pour la fabrication des articles A. b) Représenter le coût de la main d’œuvre par un vecteur-colonne C. c) En considérant les matrices P 1 et C, déterminer la matrice M1 représentant le coût de la main d’œuvre pour la fabrication en octobre 2016 des articles A et des articles B. 2. Le prix de la matière première nécessaire à la fabrication de chaque article est de 18 C pour un article A et 22 C pour un article B. a) Représenter le coût de la matière première par un vecteur-ligne L. b) En considérant les matrices L et P 1, déterminer la matrice A1 représentant le montant des achats de matière première nécessaire à la fabrication des articles en octobre 2016 pour chacun des trois sites. PARTIE C 1. 20% des articles A et 40 % des articles B sont destinés à l’exportation. a) Calculer le produit matriciel suivant : 0,2 0,4 0,8 0,6  × 60 50 0 70 90 120  b) Donner une interprétation du produit : 0,2 0,4 0,8 0,6  × 60 50 0 70 90 120  ×   1 1 1   2. Le prix de vente d’un article A est de 56 C et celui d’un article B est de 62 C. À l’aide d’un calcul matriciel, déterminer le chiffre d’affaire réalisé par cette entreprise en octobre 2016, en supposant que toute la production a été vendue. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 1 sur 14 Lycée JANSON DE SAILLY 09 octobre 2017 MATRICES Tle ES 4 Spécialité I DÉFINITIONS 1 MATRICE On appelle matrice de dimension m×n (ou d’ordre m×n) un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels. On note ai,j l’élément de la matrice situé à l’intersection de la i-ième ligne et de la j-ième colonne. Une matrice A est représentée entre deux parenthèses ou deux crochets A =         a1,1 ··· a1,j ··· a1,n . . . ... . . . ... . . . ai,1 ··· ai,j ··· ai,n . . . ... . . . ... . . . am,1 ··· am,j ··· am,n         ou A =         a1,1 ··· a1,j ··· a1,n . . . ... . . . ... . . . ai,1 ··· ai,j ··· ai,n . . . ... . . . ... . . . am,1 ··· am,j ··· am,n         EXEMPLE La matrice P = 60 50 0 70 90 120  est une matrice d’ordre 2×3, le coefficient a2,3 de la matrice P est a2,3 = 120. 2 CAS PARTICULIERS MATRICE CARRÉE Une matrice ayant le même nombre n de lignes et de colonnes est une matrice carrée d’ordre n. EXEMPLE La matrice M =   −12 √ 2 1 0 −1 0 3 2 1  est une matrice carrée de dimension 3. VECTEUR LIGNE Une matrice formée d’une seule ligne et de n colonnes est une matrice ligne ou vecteur ligne. EXEMPLE La matrice A = 60 50 0  est une matrice ligne de dimension 1×3. VECTEUR COLONNE Une matrice formée de m lignes et d’une seule colonne est une matrice colonne ou vecteur colonne. EXEMPLE La matrice C =   25 28 30  est une matrice colonne de dimension 3×1. 3 ÉGALITÉ DE DEUX MATRICES Deux matrices A et B sont égales si, et seulement si, elles ont même dimension et que tous leurs éléments situés à la même place sont égaux. EXEMPLE A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 2 sur 14 Lycée JANSON DE SAILLY 09 octobre 2017 MATRICES Tle ES 4 Spécialité Dire que les matrices A =  5 2−a −3 −1 3 0  et B =  5 1 −3 −1 3 b+2  sont égales signifie que ( 2−a = 1 b+2 = 0 ⇔ ( a = 1 b = −2 II MATRICES ET OPÉRATIONS 1 TRANSPOSÉE D’UNE MATRICE La transposée tA (aussi notée AT) d’une matrice A de dimension m × n est la matrice de dimension n× m obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A. EXEMPLE La transposée de la matrice P = 60 50 0 70 90 120  de dimension 2 × 3 est la matrice tP =   60 70 50 90 0 120  de dimension 3×2. 2 ADDITION DE MATRICES La somme de deux matrices A et B de même dimension est la matrice notée A+B obtenue en ajoutant les éléments de A et ceux de B situés à la même place. Si A = (ai,j)1⩽i⩽m 1⩽j⩽n et B = (bi,j)1⩽i⩽m 1⩽j⩽n sont deux matrices d’ordre m×n alors A+B = (ai,j +bi,j)1⩽i⩽m 1⩽j⩽n EXEMPLE Soient les matrices P 0 = 50 40 0 70 90 120  et P 1 = 60 50 0 70 90 120  : P 0 +P 1 = 50+60 40+50 0+0 70+70 90+90 120+120  = 110 90 0 140 180 240  PROPRIÉTÉS Si A, B et C sont des matrices de même dimension alors : — A+B = B+A. — A+(B+C) = (A+B)+C 3 MULTIPLICATION PAR UN RÉEL Le produit d’une matrice A par un réel k est la matrice kA obtenue en multipliant chaque élément de A par le réel k. Si A = (ai,j)1⩽i⩽m 1⩽j⩽n est une matrice d’ordre m×n alors pour tout réel k kA = (kai,j)1⩽i⩽m 1⩽j⩽n A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 3 sur 14 Lycée JANSON DE SAILLY 09 octobre 2017 MATRICES Tle ES 4 Spécialité EXEMPLE Si P = 60 50 0 70 90 120  alors : 1,1×P = 1,1×60 1,1×50 1,1×0 1,1×70 1,1×90 1,1×120  = 66 55 0 77 99 132  PROPRIÉTÉ Soient A et B deux matrices de même dimension et k un réel on a : k(A+B) = kA+kB 4 PRODUIT DE MATRICES MULTIPLICATION D’UNE MATRICE LIGNE PAR UNE MATRICE COLONNE Soient A une matrice ligne de dimension 1×n et B une matrice colonne de dimension n×1. Le produit A×B de ces deux matrices est : a1 ··· ai ··· an  ×         b1 . . . bi . . . bn         = (a1 ×b1 +···+ai ×bi +···+an ×bn) Le produit A×B de ces deux matrices est la matrice de dimension 1×1 qui n’a qu’un seul élément. EXEMPLE 60 50 0  ×   25 28 30  = (60×25+50×28+0×30) = (2900) PRODUIT DE DEUX MATRICES Si A = (ai,k)1⩽i⩽m 1⩽k⩽n est une matrice de dimension m×n et si B = bk,j  1⩽k⩽n 1⩽j⩽p est une matrice de dimension n× p, le produit C = A×B = n ∑ k=1 ai,k ×bk,j ! 1⩽i⩽m 1⩽j⩽p est une matrice de dimension m× p. Chaque élément ci,j de la matrice C est le produit de la matrice constituée de la i-ième ligne de la matrice A par la matrice constituée de la j-ième colonne de la matrice B ( 1 ⩽i ⩽m et 1 ⩽j ⩽p). En pratique, il est commode de disposer les deux matrices de la façon suivante pour effectuer le produit : A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 4 sur 14 Lycée JANSON DE SAILLY 09 octobre 2017 MATRICES Tle ES 4 Spécialité B : n lignes p colonnes               b1,1 ··· b1,j ··· b1,p . . . uploads/Industriel/ tes-2017-2018-matrices 1 .pdf

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