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EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / Dr. P. Lestuzzi Série 12 -Corrigé- 1/2 Corrigé de la série d'exercices N°12 Exercice 1 Données :   210 000 MPa ;   11.26 ∙ 10 mm4 ;  5000 kg ; ℎ  5 m ;   10 m ;   5 % ; Se : accélération horizontale ; agd = 1.0 m/s2 1. On utilise la méthode des forces de remplacement :   3    12    15    283.75 !  "  7.53 #$% & →(  0.83 & En utilisant le spectre : ) $*+ ≅1.8 La force horizontale : -  )  5000 ∙1.8 ∙1.0  9 /0 Les réactions d’appuis horizontales se répartissent pour 20% à gauche et 80% à droite selon tableau des systèmes statiques de bases : 1*234  5 *234  0.2-  1.8 /0 ; 1+6789  5 +6789  0.8-  7.2 /0 Moments aux angles de cadre: :*234  1*234 ℎ 1.8 ∙5  9 /0 :+6789  ; .<= >  1+6789 ℎ ;7.2 ∙ ? >  7.2 ∙5  18 /0 Déplacement maximal: @ 2A  = BC  3.17 D 2 La rigidité est doublée  E  2  567.5 0 →(  0.59 & →) $*+  2.5 La force horizontale : -  )  5000 ∙2.5 ∙1.0  12.5 /0 0 1 2 3 4 5 0.01 0.1 1 10 Se/ agd T[s] EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / Dr. P. Lestuzzi Série 12 -Corrigé- 2/2 Déplacement maximal: @ 2A  -   2.20 D @E 2A  @ 2A ∙√2 2  @ 2A ∙1 √2 :E GG  :GG ∙√2 Avec une valeur double de la rigidité, la pulsation propre ω! E est plus grande que la pulsation ω! d’un facteur √2. Cela veut dire que la période (Esera égale à I √>. Pour la détermination de la force sismique sur le spectre, on est sur la branche descendante en … K I. Par conséquent la nouvelle force sismique (avec la période (E) sera -E  - ∙√2. Les efforts seront donc augmentés d’un facteur √2 et le déplacement maximal réduit d’un facteur K √>. Exercice 2 1. Matrices de rigidité et des masses : 3 2 3 2 2 2 2 2 k k K k k k     − −     = =     − −         2 0 2 0 0 3 0 3 m M m m         = =              Fréquences propres et modes propres Valeurs propres : ( )( ) 2 2 2 2 2 4 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 4 6 13 2 0 2 2 3 k mw k k mw k mw k m mk k k k mw ω ω − − = − − − = − + = − − 2 13 169 48 . 12 k m ω ± − ⇒ = On obtient les pulsations propres suivantes : 2 1 1 . 6 k m ω = et 2 2 2. k m ω = Modes propres : 2 1 11 11 11 2 21 21 21 1 8 3 2 3 2 2 3 4 . . . 0 1 2 2 3 1 2 3 k mw k A A A k A A A k k mw            − − −            = = ⇒ =              − −   −                      2 2 12 12 12 2 22 22 22 2 3 2 2 1 2 2 . . . 0 2 4 1 2 2 3 k mw k A A A k A A A k k mw            − − − − −            = = ⇒ =            − − − −                        Matrice des vecteurs modaux : 3 2 4 1 1 A   −   =        Grandeurs généralisées Masses généralisées : * 4.125 0 0 11 T M A M A m   = =     EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / Dr. P. Lestuzzi Série 12 -Corrigé- 3/2 Remarque : les masses généralisées sont bien égales à : * 2 . n jn j m A m = Rigidité généralisée : * 0.6875 0 0 22 T K A K A k   = =     2. Modification de ces caractéristiques si les hauteurs d’étage sont doublées : Seules les fréquences (1/√8) et la rigidité généralisée (1/8) sont affectées. Les vecteurs propres, les masses généralisées, les facteurs de participations et les facteurs de participation modaux restent les mêmes. uploads/Ingenierie_Lourd/ 12-exercice-corrige.pdf

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Ingénierie propres série force rigidité masses
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