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Résistance Des Matériaux (RDM) Chapitre I Introduction Quelques définitions 2 •

Résistance Des Matériaux (RDM) Chapitre I Introduction Quelques définitions 2 • La RDM: est la science du dimensionnement des pièces ou éléments qui constituent un ouvrage d’art ou tout objet utilitaire. Branche de la MMC adaptée aux déformations des structures. • La statique: branche de la mécanique qui étudie les conditions sous lesquelles un corps est en l’équilibre, compte tenu des efforts que son milieu extérieur exerce sur lui. • Action mécanique: toute cause susceptible de maintenir un corps au repos, de créer ou de modifier un mouvement ou encore de créer une déformation. • Force: l’action mécanique qui s’exerce entre deux particules élémentaires. Une force est toujours appliquée en un point et présentée par un vecteur (P,F (N)). A. ARID ENSAM 2015 But de la RDM ? A. ARID ENSAM 2015 3 La conception d’un ouvrage est l’imagination des formes des pièces formant le squelette géométrique ainsi que la détermination des quantités de matière nécessaires et suffisantes pour réaliser ces formes. Cette étude préliminaire doit remplir les fonctions demandées à cette structure (cahier de charge), c’est à dire une bonne résistance (sans dommage) à tous les efforts auxquels elle sera soumise pendant son service. Le dimensionnement (réalisé par des bureaux d’études) fait appel à des calculs qui prévoient le comportement mécanique de l’objet dont la conception doit réunir les meilleures conditions de sécurité, d’économie et d’esthétique ( architecte). But de la RDM ? 4 A. ARID ENSAM 2015 Les exigences à satisfaire • Résistance supporter et transmettre les charges externes qui lui sont imposées. • Rigidité ne doit pas subir de déformations excessives • Stabilité conserver son intégrité géométrique • Endurance tolérer sans rupture un certain nombre de cycles de sollicitation variable • Résilience absorber une certaine quantité d’énergie sous chargement dynamique sans endommagement. 5 A. ARID ENSAM 2015 Résultante de forces 6 ... 3 2 1     F F F R     La résultante est obtenue en grandeur et direction en formant le polygone des deux forces. Une force unique qui a les mêmes effets qu’un système de forces. Elle s’exprime mathématiquement par: A. ARID ENSAM 2015 Trouver la résultante de ce système de force ? Composantes d’une force A. ARID ENSAM 2015 7 Il est toujours avantageux de décomposer une force en deux composantes suivant deux axes perpendiculaires entre eux. A partir de la figure, il est évident que: ) ( sin . cos . 2 2 X Y Y X Y X F F Arctg F F F F F F F         Décomposer la force ? Moment A. ARID ENSAM 2015 8 Lorsqu’une force arrive à faire tourner un corps rigide autour d’un axe non parallèle à sa ligne d’action et ne l’interceptant pas. Moment d’une force par rapport à un axe Le moment de la force F par rapport à l’axe OO’ est proportionnel à l’intensité de cette force ainsi qu’à la distance (d) qui sépare l’axe de la ligne d’action de cette force. Le moment est défini comme suivant: d F M   Le moment est un vecteur perpendiculaire au plan du corps, son sens dépend de la position de la force par rapport à l’axe. Moment scalaire d’une force par rapport à un point Le moment de la force F par rapport au point O se calcule à partir de la formule suivante:  d F F M o     / le moment sera positif si, par rapport au point de calcul, la force tend à faire tourner le solide dans le sens trigonométrique, et vis vers ça. Le moment se mesure en (N.m) A. ARID ENSAM 2015 9 Moment vectoriel d’une force par rapport à un point Un moment est représentable sous forme vectorielle (vecteur moment) et défini à partir d’un produit vectoriel. De la figure, on aura:  F OA F M O      /    F OA F OA F OA F M O      , sin . . /    En effet, Couple On appelle couple le moment de deux forces égales, opposées et de lignes d’action parallèles. Un tel ensemble de forces F et – F est donné par la figure. La somme des moments des deux forces par rapport à un axe qui passe par le point O s’écrit: Moment  d F a F d a F M O        / On remarque que le moment M est indépendant de la distance a Exemple A. ARID ENSAM 2015 10 Soit une force F d'intensité égale à 50 N appliquée à la cornière illustrée ci-dessous. Calculer un système force-couple équivalent, au niveau du point A. Solution A. ARID ENSAM 2015 11 Système force-couple équivalent. Décomposons la force F suivant les directions X et Y, nous obtenons: Ces composantes peuvent être transportées au point A si nous leur associons un couple de moment MA égal à la somme des moments par rapport au point A des composantes dans leur position initiale. Torseur A. ARID ENSAM 2015 12 Comme nous l'avons vu ci-dessus, la définition complète d’un effort (force) fait intervenir deux vecteurs : • une force R appelée résultante, • un moment M/O (R) en un point O quelconque, appelé moment. Ces deux vecteurs, appelés éléments de réduction, peuvent être regroupés en une seule écriture dans un nouvel outil mathématique appelé « Torseur ». On note un torseur quelconque et ses éléments de réduction au point O. Ainsi, le torseur est un système de vecteurs glissants; ensemble d’un vecteur R et d’un couple de moment C (noté M) dirigé suivant la ligne d’action de R (le support de R est l’axe central du torseur, et le rapport M/R son pas).     O   Eléments de réduction du torseur en un point A A. ARID ENSAM 2015 13 On appelle éléments de réduction du torseur en A: M: moment en A du torseur R : résultante du torseur (indépendante de A) - Si un solide (S) subit un ensemble de n forces Fi appliquées aux points Pi, notées (Pi, Fi ) de la part du milieu extérieur, cette action mécanique est modélisable par le torseur suivant: Notations Dans une base directe (O, i, j,k), on écrit: Alors Quelques propriétés A. ARID ENSAM 2015 14 • La somme de deux torseurs est un torseur et ses éléments de réduction sont la somme des éléments de réduction des torseurs constituant la somme: • On appellera et on notera torseur nul: • Deux torseurs sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes éléments de réduction. • On appelle couple, un torseur dont la résultante est nulle et dont le moment résultant est indépendant du point de calcul. Torseur associé à un système de vecteurs Soit la donnée d’un vecteur V et d’un point A d’application, on appelle glisseur le couple (A, V) et on peut lui associer un torseur, de même pour un système de glisseurs. Exemple A. ARID ENSAM 2015 15 Exprimer les torseurs du poids P par rapport aux points G et A. Calcul du moment d’un torseur associé à une force Cas plan d est la distance du point O à la droite d’action de F. On l’appelle encore bras de levier de F. A. ARID ENSAM 2015 16 Conclusions A. ARID ENSAM 2015 17 On peut dire que la réduction d’un système de forces en un point consiste à remplacer ce système par un système de forces équivalent au point de vue statique. La réduction a souvent un rôle simplificateur. La notion de force permet d’exprimer l’action qu’exerce un corps sur un autre, elle prend un sens uniquement s’il y a un récepteur. Elle se rapporte toujours au corps sur lequel elle agit, elle est le résultat d’une action. On entend par action toute cause sollicitant une construction, c’est le cas du vent ou des séismes par exemple. Ainsi, les définitions données dans ce chapitre nous permettent de faciliter le travail sur les systèmes de forces et notamment sur les systèmes de forces en équilibre. Résistance Des Matériaux (RDM) Chapitre II Actions Mécaniques Solides et systèmes matériels A. ARID ENSAM 2015 19 Système matériel est un ensemble constitué de solides et de fluides que l’on souhaite étudier. Système isolé est un système matériel que l’on rend distinct de son environnement. Le système isolé peut être une pièce mécanique, un ensemble de pièces, une partie de pièce ou un fluide. Solide est un système de points matériels immobiles les uns par rapport aux autres. Il est donc supposé indéformable sous l’action des forces exercées. Classification des actions mécaniques A. ARID ENSAM 2015 20 • les actions mécaniques de contact (action surfacique: liaisons de contact entre solides, pression,...); • les actions mécaniques à distance (action volumique: champ de pesanteur, force électromagnétique,... ). On distingue les actions extérieures et les actions intérieures à un système de solides. • On appelle uploads/Ingenierie_Lourd/ a-arid-rdm-i-3.pdf