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TUTORIAL PATRICK ETYNGIER Ecole Supérieure d’Informatique - Electronique - Auto

TUTORIAL PATRICK ETYNGIER Ecole Supérieure d’Informatique - Electronique - Automatique JUIN 2003 Introduction intuitive à la géométrie projective Version 1.0 Réalisé dans le cadre des TPED (projets de ﬁn d’études) mosaicage d’images et 3D à partir d’un ﬂux video encadrés par LAURENT BEAUDOIN Docteur ENST et professeur ESIEA ROBERT ERRA Docteur Université de Rennes et professeur ESIEA TABLE DES MATIÈRES 1 Introduction 4 2 La stratiﬁcation de la géométrie 6 2.1 La géométrie euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 La couche métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 La couche afﬁne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.4 La géométrie projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.5 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 Modèle mathématique de la géométrie projective 13 3.1 Vers les coordonnées homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Correspondance entre les coordonnées classiques et homogènes . . . 13 3.3 Et les points à l’inﬁni ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.4 Déﬁnitions et propriétés en dimensions 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.4.1 Points, lignes et principe de dualité . . . . . . . . . . . . . . 15 3.4.2 Calculs sur les points et les droites . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.4.3 Coniques et coniques duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.4.4 La droite à l’inﬁni & points absolus . . . . . . . . . . . . . . 16 3.4.5 Homographies et transformations projectives . . . . . . . . . 17 3.4.6 Rapport harmonique et formule de Laguerre . . . . . . . . . . 17 3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 Exemples de simulations Matlab 20 4.1 Du plan projectif au plan afﬁne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.1.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.1.2 Formulation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.1.3 Mise en oeuvre et résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.2 Du plan projectif au plan euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2.2 Formulation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2.3 Mise en oeuvre et résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 5 Pour aller plus loin 28 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 TABLE DES FIGURES 1.1 Photographie d’une table carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1 Les transformations possibles dans un espace euclidien . . . . . . . . 7 2.2 Exemple de transformation métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Exemple de transformation afﬁne d’un cube . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4 Une représentation du plan projectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.5 Droite à l’inﬁni en dehors de sa position canonique . . . . . . . . . . 10 2.6 Un exemple d’image en représentation projective . . . . . . . . . . . 11 2.7 Exemple d’un cube dans un espace projectif . . . . . . . . . . . . . . 12 2.8 La stratiﬁcation de la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1 Le principe de dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Une conique à gauche et son dual à droite . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 Droite projective et plan projectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.4 Le rapport harmonique en espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . 18 3.5 Rapport harmonique de 4 droites et formule de Laguerre . . . . . . . 19 4.1 Le modèle perspectif de la caméra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2 Identiﬁcation de point à l’inﬁni et de la droite à l’inﬁni . . . . . . . . 22 4.3 Exemple de recalage afﬁne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.4 Exemple de recalage euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 CHAPITRE 1 Introduction La vision humaine est un sens bien complexe à reproduire artiﬁciellement. La mise en correspondance des images reçues par les yeux, est certes, une étape nécessaire, mais non sufﬁsante puisque la connaissance à priori de l’objet ﬁxé joue un rôle es- sentiel. Sans entrer dans les détails de la conception mentale des objets, prenons un exemple. La ﬁgure 1.1 est une photo d’une table carrée dont les bords ont été surlignés en rouge. Il apparaît clairement que le quadrilatère formé par le contour de la table sur le plan de l’image n’est pas un carré. Pourtant, sans cette dernière remarque, nul n’au- rait douter un seul instant que la table ne fût point un carré. C’est le cerveau qui grâce à une connaissance à priori (fondée sur l’expérience de la vision) interprète la table comme étant carrée. La vision humaine provoque les mêmes distorsions, mais nous y sommes tellement habitués que nous n’y prêtons pas attention. La déformation des objets au travers d’une photographie, ou même de la vision hu- maine provient de la projection de l’objet en dimension 3 vers son image en dimension 2. Aﬁn d’étudier la vision par ordinateur, la géométrie projective est un outil indispen- sable qui fait appel à des concepts mathématiques parfois difﬁcilement représentables. L’objet de ce chapitre est de fournir une introduction à la géométrie projective par des approches intuitives, partant de connaissances de base en géométrie classique eu- clidienne. Les exemples traités seront en dimension 2 et 3. Pour une description plus complète de la géométrie projective appliquée à la vision par ordinateur, on se dirigera vers [Fau03], [Pol99], [Bir98] 4 FIG. 1.1 – Photographie d’une table carrée Patrick Etyngier 5 Juin 2003 CHAPITRE 2 La stratiﬁcation de la géométrie La géométrie se subdivise en plusieurs couches et pour chacune d’entre-elle, est associé un groupe uploads/Ingenierie_Lourd/ geometrie-projective-etyngier.pdf