Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

[ Baccalauréat blanc TS 29 février 2008 \ Lycée Pierre Mendès-France Tunis L’ut

[ Baccalauréat blanc TS 29 février 2008 \ Lycée Pierre Mendès-France Tunis L’utilisation de la calculatrice est autorisée. Le candidat est invité à faire ﬁgurer sur sa copie toute trace de recherche, même incomplète, qu’il aura développée. Il est rappelé que la présentation, la qualité de la rédaction et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Exercice 1 7 points Partie A : restitution organisée de connaissances Prérequis : on utilisera exclusivement les résultats rappelés ci-dessous a. la forme algébrique des nombres complexes et les règles de calcul correspon- dantes, b. la déﬁnition de l’exponentielle complexe : pour tout réel θ, eiθ = cosθ+isinθ c. les formules d’addition suivantes : pour tous réels θ et θ′, cos(θ +θ′) = cosθcosθ′ −sinθsinθ′ et sin(θ +θ′) = sinθcosθ′ +cosθsinθ′ 1. Démontrer que pour tous réels θ et θ′, ei(θ+θ′) = eiθ ×eiθ′. 2. En déduire que pour tout réel θ et pour tout entier n de N, ¡ eiθ¢n = einθ. Partie B : construction d’un pentagone régulier Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ³ O, − → u , − → v ´ . L’unité graphique est 4 cm. On. pose w = ei 2π 5 . 1. Simpliﬁer w5 puis calculer 1+ w + w2 + w3 + w4. 2. Montrer que pour tout nombre complexe z non nul, 1 z2 ¡ 1+ z + z2 + z3 + z4¢ = µ z + 1 z ¶2 + µ z + 1 z ¶ −1. 3. a. Résoudre dans C l’équation Z 2 + Z −1 = 0. b. En déduire la valeur exacte de cos µ2π 5 ¶ . 4. On note K, A et B. les points d’afﬁxes respectives −1 4, 1 2i et w. Soit C le cercle de centre K passant par A. a. Déterminer une équation du cercle C . b. Le cercle C coupe l’axe ³ O ; − → u ´ en deux points H et H′ (H étant d’abs- cisse positive). Montrer que H a pour abscisse cos µ2π 5 ¶ . c. En déduire une construction géométrique simple du point B. d. Achever la construction du pentagone régulier de centre O dont B est un sommet (expliquer et justiﬁer). Exercice 2 5 points Réservé aux élèves n’ayant pas choisi la spécialité Mathématiques On considère l’équation différentielle (R) : y −y′ = ex x2 et on cherche l’ensemble des solutions de cette équation déﬁnies sur ]0 ; +∞[. Baccalauréat blanc 1. a. Démontrer que la fonction u déﬁnie sur ]0 ; +∞[ par u(x) = ex x2 est solu- tion de (E). b. Démontrer qu’une fonction v déﬁnie sur ]0 ; +∞[ est solution de (E) si et seulement si la fonction v −u, déﬁnie sur ]0 ; +∞[, est solution de l’équation différentielle y −y′ = 0. c. En déduire toutes les solutions déﬁnies sur ]0 ; +∞[[ de l’équation (E). 2. Pour tout réel k négatif ou nul, on considère la fonction fk déﬁnie sur ]0 ; +∞[ par : fk(x) = kx +1 x ex. a. Déterminer les limites de fk en 0 et en +∞. b. Calculer f ′ k(x) pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[ et déterminer le nombre de solutions sur ]0 ; +∞[ de l’équation fk(x) = 0. 3. On note Ck la courbe représentative de la fonction fk, dans un repère ortho- normal ³ O, − → ı , − →  ´ . On a tracé sur le graphique ci-dessous les courbes C−1, C−0,25, C−0,15 et C0. En utilisant la deuxième question, reconnaître chaque courbe (les réponses doivent être justiﬁées). 1 2 3 4 5 6 7 −1 10 20 30 −10 −20 Courbe a Courbe b Courbe c Courbe d Exercice 2 5 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Dans cet exercice, on pourra utiliser le résultat suivant : étant donnés deux entiers naturels a et b non nuls, si PGCD(a ; b) = 1 alors PGCD ¡ a2 ; b2¢ = 1. La suite (Sn) est déﬁnie pour n ∈N par Sn = n X p=1 p3. On se propose de déterminer, pour tout entier naturel non nul n, le plus grand com- mun diviseur de Sn et Sn+1. 1. Démontrer que, pour tout entier n > 0, Sn = ·n(n +1) 2 ¸2 . A. Turbergue 2 29 février 2008 Baccalauréat blanc 2. Étude du cas où n est pair. Soit k l’entier naturel non nul tel que n = 2k. a. Démontrer, que PGCD(S2k ; S2k+1) = (2k +1)2PGCD ¡ k2 ; (k +1)2¢ . b. Montrer que k et k +1 sont premiers entre eux. c. En déduire PGCD(S2k ; S2k+1). 3. Étude du cas où n est impair. Soit k l’entier naturel non nul tel que n = 2k +1. a. Démontrer que les entiers 2k +1 et 2k +3 sont premiers entre eux. b. Déterminer PGCD(S2k+1 ; S2k+2). 4. Déduire des questions précédentes qu’il existe une unique valeur de n, que l’on déterminera, pour laquelle Sn et Sn+1 sont premiers entre eux. Exercice 3 2 points Pour chacune des deux afﬁrmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justiﬁcation de la réponse choisie. Une réponse non justiﬁée ne rapporte aucun point. 1. Soit f une solution de l’équation différentielle y′ = −2y +2, f n’étant pas une fonction constante. Afﬁrmation 1 : la représentation graphique de f dans un repère du plan, n’ad- met aucune tangente parallèle à l’axe des abscisses. 2. Soit g la fonction, déﬁnie sur [0 ;+∞[ par g(x) = px lnx si x > 0 et g(0) = 0. Afﬁrmation 2 : la fonction g est dérivable en zéro. Exercice 4 6 points 1. Déterminer la limite en +∞de la fonction ϕ : x 7− → ln ¡ x2 +1 ¢ x . 2. Soit n un entier naturel non nul, n étant ﬁxé pour cette question. On déﬁnit la fonction f , sur [0 ; +∞[ par fn(x) = 2x −2+ ln ¡ x2 +1 ¢ n a. Déterminer la limite de fn en +∞. b. Calculer la dérivée de fn sur [0 ; +∞[. c. Dresser le tableau de variations de fn. d. En déduire que l’équation d’inconnue x, fn(x) = 0 admet une unique solution αn dans [0 ; +∞[. e. Justiﬁer que 0 < αn < 1. 3. Prouver que pour tout entier naturel n non nul, ln ¡ α2 n +1 ¢ = 2n (1−αn). En déduire que fn+1 (αn) < 0. 4. Étude de la suite (αn)n∈N∗ a. À l’aide de la calculatrice, proposer sans justiﬁcation, des valeurs déci- males approchées à 10−2 près de α1, α4 et α10. b. Démontrer que la suite (αn) est croissante. c. En. déduire qu’elle est convergente.. d. Dans cette dernière question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Déterminer la limite de cette suite. A. Turbergue 3 29 février 2008 uploads/Ingenierie_Lourd/ bacblanc29-2-2008turbergue.pdf