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MINISTERE DE L’DUCATION DIRECTION REGIONALE DE SOUSSE Année scolaire : 2010 - 2

MINISTERE DE L’DUCATION DIRECTION REGIONALE DE SOUSSE Année scolaire : 2010 - 2011 Lycée Pilote de Sousse DEVOIR DE SYNTHESE N°3 MATHEMATIQUES  Classes : 4ème Sciences expérimentales 1-2-3 et Techniques  Durée de l’épreuve : 3heures  Coefficient : 3  Les calculatrices scientifiques sont autorisées conformément à la réglementation en vigueur  Le sujet comporte une annexe à rendre avec la copie Le sujet est composée de 4 exercices indépendants . Chaque élève doit traiter tous les exercices ; il a le droit d’admettre le résultat d’une question donnée pour aborder les questions suivantes . Il est rappelé que la qualité de la rédaction , la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies . EXERCICE 1: On donne dans la figure suivante les courbes représentatives , dans un repère orthonormé ( ⃗ ⃗ ) des deux fonctions f et g définies sur - , par : ( ) ( ) . / Pour chacune des propositions suivantes dire si elle est vraie ou fausse. Les réponses seront écrites dans la grille fournie dans la feuille ANNEXE . Aucune justification n’est demandée . L’aire de la partie hachurée est∫ ( ) ⁄ . il existe un réel 1 0 tel que ( ) . / Les deux suites ( ) ( ) définies sur par : ( ) ( ) , sont adjacentes . On note C * ( ) ( ) + l’arc de la courbe de f sur , - . Le volume du solide de révolution engendré par la rotation de l’arc C autour de ( ⃗ ),est : ( ) EXERCICE 2 : 1) Résoudre dans , l’équation ( E ) : 2) Résoudre dans , l’équation ( ) ( ) , où , -. 3) Soit ( ⃗⃗ ⃗ ⃗ ) un repère orthonormé direct du plan. On considère les points suivants : A d’affixe , M d’affixe et N d’affixe où , -. a – Calculer la distance AM . b – Quel est l’ensemble décrit par le point M lorsque , - ? c – Montrer que pour tout , - ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont orthogonaux. d – Calculer Pour quelle valeur de , est-elle maximale ? ( Cf ) ( Cg ) 2 3 4 5 -1 2 -1 0 1 1 x y 1 2 3 4 EXERCICE 3: L’espace étant rapporté à un repère orthonormé direct ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ) ; on considère les points : ( ) ; ( ) ( ) ( ) . 1) a – Déterminer les composantes du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . En déduire que les points A, B et C déterminent un plan .On notera P = ( ABC ). b – Calculer ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ En déduire que . c – Calculer le volume du tétraèdre ABCI. d – Déterminer alors la distance du point I au plan P . 2) On désigne par S l’ensemble des points ( ) de l’espace tels que : a – Montrer que S est une sphère , préciser son centre et son rayon . b – Déterminer une équation cartésienne de P . c – Etudier la position relative de S et P et caractériser leur intersection . 3) Pour tout réel m on associe le plan dont une équation cartésienne est : ( ) a – Déterminer m pour que le plan soit tangent à S. b – Soit H le point de contact de et S lorsqu’ils sont tangents. Déterminer les coordonnées de H . EXERCICE 4: On donne , dans la feuille ANNEXE , ci jointe , ( C ) la courbe représentative dans un repère orthonormé ( ⃗ ⃗ ) de la fonction réciproque d’une fonction continue et strictement monotone sur - , . La courbe ( C ) admet les droites d’équations comme asymptotes l’axe des ordonnées en A( 0 , ln2 ). 1) a – Par lecture graphique déterminer : ( ) ( ) ( ) , ( )- b – En déduire : ( ) ( ) c – Tracer la courbe ( C’ ) de ,dans le même repère ( ⃗ ⃗ ) que ( C ), sur la feuille ANNEXE 2) En réalité on connait que : ( ) ( ) , où a et b sont deux réels strictement positifs. a – Vérifier que ( ) ( ) b – Montrer que : . c – En déduire que ( ) ( ). 3) On considère la suite ( ) telle que : ∫ ( ) a – Montrer que la suite ( ) est croissante . b – A l’aide d’une intégration par parties calculer ∫ En déduire que pour tout ; ( ) c - Montrer que la suite ( ) est convergente . 4) a – Vérifier que : b – Montrer en s’aidant d’une intégration par partie que : ( ) ( ) ( ) ( ) c – En déduire la limite de , lorsque n tend vers + . ANNEXE ( à rendre avec la copie ) Exercice 1 : Grille de réponses Proposition 1 2 3 4 Réponse Exercice 4 : ( C ) la courbe représentative de la fonction réciproque . Nom et prénom : ………………………………………………………………………………… Classe : ………………. uploads/Ingenierie_Lourd/ bblanc-4sc-lps.pdf