UNIVERSIT´ E CADI AYYAD Ann´ ee : 2006/2007 Ecole Nationale Des Sciences Appliq

UNIVERSIT´ E CADI AYYAD Ann´ ee : 2006/2007 Ecole Nationale Des Sciences Appliqu´ ees Session du : 25 Juillet 2007 Marrakech Responsable : I. OUASSOU Concours d’entr´ ee en 1´ ere ann´ ee du cycle pr´ eparatoire Epreuve de math´ ematiques (dur´ ee 1h30min) Remarques importantes 1) Les documentations, les calculatrices et les t´ el´ ephones portables sont interdits. 2) Parmis les r´ eponses propos´ ees elle n’y a qu’une qui est juste. 3) Cocher la case qui correspond ` a la r´ eponse correcte sur la fiche de r´ eponses. 4) R` egles de notation : R´ eponse juste = 1 point ; R´ eponse fausse = -1 point ; Sans r´ eponse = 0 point. Noter Bien Plus qu’une case choch´ ee = -1 point. ———————————————————————————————- Exercice 1 1. lim n→+∞ 2n2 −(−1)nn + 1 n + 3 n’existe pas. 2. lim n→+∞ln(n + 1) −ln(n + 2) n’existe pas. 3. lim n→+∞sin(n) n’existe pas. 4. lim n→+∞(−0, 7)n + (0, 7)n n’existe pas. Exercice 2 On consid` ere une suite de r´ eels (un). 1. Une suite (un) croissante est-elle n´ ecessairement divergente vers +∞? 2. Une suite (un) divergente vers +∞est-elle n´ ecessairement croissante? 3. Une suite (un) born´ ee est-elle n´ ecessairement convergente? 4. Une suite (un) croissante et non major´ ee diverge-t-elle n´ ecessairement vers +∞? 1 Exercice 3 Soient z1 et z2 les deux nombres complexes solutions de l’´ equation z2 −4z + 6 = 0. Dans le plan complexe muni du rep` ere orthonormal (O; ⃗ u,⃗ v), on consid` ere les points M1 et M2 d’affixes respectives z1 et z2 puis I le milieu du segment [M1, M2] . 1. Le nombre z1 + z2 est imaginaire pur. 2. L’affixe du point I est imaginaire pure. 3. Les droites (OI) et (M1M2) sont perpendiculaires. 4. Le triangle OM1M2 n’est pas ´ equilat´ eral. Exercice 4 Soit P le polynˆ ome d´ efini par P(X) = 2X3 + X2 −5X + 2. 1. Les r´ eels −2, 1 2, -1 sont solutions de l’´ equation P(x) = 0. 2. L’ensemble S des solutions r´ eelles de l’´ equation 2e3x + e2x −5ex + 2 = 0 est S = {ln 2, 0}. 3. L’ensemble S des solutions r´ eelles de l’´ equation 2(ln x)3 + (ln x)2 −5 ln x + 2 = 0 est S =  e, 1 e2, √e  . 4. L’ensemble S des solutions r´ eelles de l’´ equation 2 sin3 x + sin2 x −5 sin x + 2 = 0 est S = π 6 , 5π 6 , π 2  . Exercice 5 D’un sac contenant 10 boules num´ erot´ ees de 1 ` a 10, on extrait trois boules simul- tan´ ement. 1. La probabilit´ e pour que, parmi ces trois boules, il y ait toutes celles du sac dont le num´ ero est un multiple de 5 est 2 15. 2. La probabilit´ e pour que, parmi ces trois boules, il y en ait au plus une dont le num´ ero est un multiple de 5 est 13 15. 3. La probabilit´ e pour que, parmi ces trois boules, il y en ait au moins une dont le num´ ero est un multiple de 5 est 8 15. 4. La probabilit´ e pour que, parmi ces trois boules, il y ait toutes celles du sac dont le num´ ero est un multiple de 3 est 1 60. 2 Exercice 6 Soient les suites num´ eriques (un)n∈N et (vn)n∈N d´ efinies pour tout n ∈N par u0 = 0, un+1 = un −1 et vn = 3un. 1. La suite (vn) est g´ eomtrique. 2. La suite (vn) est divergente. 3. Pour tout entier n > 0, si Sn = v0 + v1 + . . . + vn, lim n→+∞Sn = 1 2. 4. La suite (wn) d´ efinie pour tout n ∈N par wn = ln(vn) est g´ eom´ etrique. Exercice 7 Soit (un) la suite d´ efinie par u0 = −1 et pour tout entier n , un+1 = u2 n + 1. 1. La suite (un) est positive pour tout n ∈N. 2. La suite (un) est croissante. 3. ∀n ∈N, un ≤16 √ 2. 4. La suite (un) est convergente. Exercice 8 Soit f la fonction d´ efinie sur R par f(x) = cos xe √ 1−cos2 x. 1. f(π −x) −f(x) = 0. 2. Le point I π 2 , 0  est un centre de sym´ etrie de la courbe repr´ esentative de f dans un rep` ere orthonorm´ e. 3. La d´ eriv´ ee de f est f ′(x) =  cos2 x −sin x  esin x. 4. Une primitive F de f est d´ efinie par F(x) = esin x. Exercice 9 Soit la fonction f d´ efinie par f(x) = ln  x −1 x2 −x −2  . 1. La fonction f est d´ efinie sur ] −1, 1[ [ ]2, +∞[. 2. La fonction f peut s’´ ecrire f(x) = ln(x −1) −ln(x2 −x −2) sur ] −1, 1[ [ ]2, +∞[. 3. f ′(x) = 1 x −1 − 1 x + 1 − 1 x −2 sur ] −1, 1[ [ ]2, +∞[. 4. La fonction f est croissante sur ]2, +∞[. 3 Exercice 10 Soit f la fonction d´ efinie sur R par f(x) = √ 1 + x2 −1 x et f(0) = 0. 1. La fonction f n’est pas continue en 0. 2. Sur R, f ′(x) = √ 1 + x2 + 1 x2√ 1 + x2 3. lim x→−∞f(x) = 1. 4. La droite d’´ equation y = 1 est asymptote ` a la courbe C repr´ esentative de f. Exercice 11 1. La fonction x →cos(4(x + 1)) est la d´ eriv´ ee de la fonction x →cos(x + 1) sin(x + 1). 2. La fonction x → 1 sin2 x est la d´ eriv´ ee de la fonction x →ln  sin x cos x + 1  . 3. La fonction x →− x √ x2 −1 est la d´ eriv´ ee de la fonction x →ln √ x2 −1 −x  . 4. La fonction x →(sin 2x)esin2x est la d´ eriv´ ee de la fonction x →esin2 x. Exercice 12 On consid` ere les deux int´ egrales I = Z π 4 0 sin x cos2 xdx et J = Z π 4 0 sin3 xdx. 1. 2I = Z π 4 −π 4 sin x cos2 xdx. 2. I + J = − √ 2 2 + 1. 3. I = 4 + √ 2 12 . 4. J = 5 √ 2 −8 12 . 4 Exercice 13 Soit la fonction f de la variable r´ eelle x d´ efinie sur R par f(x) = Z x 0 dt 1 + t2. 1. La fonction f est paire. 2. On a f ′(x) = − 2x (1 + x2)2. 3. La fonction f est d´ ecroissante sur R. 4. Pour tout x ∈]1, +∞[, f(x) < 2 . Exercice 14 1. Z 2 −2 (|x −1| + |x| + |x + 1|) dx = 0. 2. Z π −π cos |x|dx = 0. 3. La fonction x → 1 cos2 x est une primitive de la fonction x →sin x cos2 x sur l’intervalle  −π 2 , π 2  . 4. La fonction x →1 3 q (1 + x2)3 est une primitive de la fonction x →x2√ x2 + 1 sur R. Exercice 15 Soit (O,⃗ i,⃗ j,⃗ k) le rep` ere orthonormal de l’espace. Soit P le plan de rep` ere (A, ⃗ u,⃗ v) o` u A(−1, 1, 2), ⃗ u =⃗ i +⃗ j et ⃗ v =⃗ i −⃗ j + ⃗ k. 1. Le vecteur ⃗ w =⃗ i +⃗ j −2⃗ k n’est pas normal au plan P. 2. L’´ equation cart´ esienne du plan P est x + y −2z + 6 = 0. 3. La droite D passant par le point B(1, 0, −1) et de vecteur directeur ⃗ w est d´ efinie par y + x −1 = 0 et z + 2x −1 = 0. 4. Le plan P et la droite D se coupent au point  −1 2, 1 2, 2  . 5 UNIVERSITE CADI AYYAD ECOLE NATIONALE DES SCIENCES APPLIQUEES MARRAKECH ****** Marrakech, le 25-07-2007 Avenue Abdelkrim El Khattabi BP 575 Marrakech – Maroc Tél : (212) 044.43.47.45/46 Fax : (212) 044.43.47.40 Réservé aux correcteurs Responsable : I.Ouassou Correction du concours d’entrée en 1ère année du Cycle Préparatoire Fiche de réponses Epreuve de Mathématique (Durée 1h :15min) Nom :…………………………………………… Prénom :……………………………………….. C. N. E. :………………………………………. N° d’examen : ………………………………… Note :................ Remarques Importantes : 1) La documentation, les calculatrices et les téléphones portables sont interdits. 2) Parmi les réponses proposées il n’y en a qu’une qui est juste. 3) Cochez la case qui correspond à la réponse correcte uploads/Ingenierie_Lourd/ concours-d-entree-en-premiere-annee-du-cycle-preparatoire-de-l-ensa-de-marrakech-epreuve-de-mathematique-2006-2007.pdf

Tags
Ingénierie exercice fonction suite efinie point
Documents similaires
  • 26
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager