Econométrie Chapitre 2: Modèle de Régression Linéaire Simple Pr. Moad El kharri

Econométrie Chapitre 2: Modèle de Régression Linéaire Simple Pr. Moad El kharrim Université AbdelMalek Essaâdi, FSJES - Tétouan eco.gscope.info melkharrim@uae.ac.ma Année Universitaire 2021-2022 Pr. Moad El kharrim Modèle de Régression Linéaire Simple 2021-2022 1 / 39 Sommaire du chapitre 1 Construction de Modèle de Régression 2 Estimation des Moindres Carrés et les Hypothèses Classiques 3 Conséquences de la Normalité des Erreurs 4 Inférences dans la Régression et Analyse de la Variance (ANOVA) 5 Prévision dans le Modèle de Régression Simple Pr. Moad El kharrim Modèle de Régression Linéaire Simple 2021-2022 2 / 39 Construction de Modèle de Régression Présentation Formelle du Modèle La régression simple est le modèle le plus simple: une variable endogène est expliquée par une variable exogène. Soit la fonction de production keynésienne : Y = β0 + β1X ▶Y = Consommation ▶X = Revenu ▶β1 = Propension marginale à consommer ▶β0 = Consommation autonome ou incompressible Pr. Moad El kharrim Modèle de Régression Linéaire Simple 2021-2022 3 / 39 Construction de Modèle de Régression Présentation Formelle du Modèle La variable consommation est appelée variable à expliquer, variable endogène, variable de réponse ou variable dépendante. La variable revenu est appelée variable explicative, exogène ou encore variable indépendante. β1 et β0 sont les paramètres du modèle ou encore les coefficients de régression Pr. Moad El kharrim Modèle de Régression Linéaire Simple 2021-2022 4 / 39 Construction de Modèle de Régression Présentation Formelle du Modèle Nous pouvons distinguer deux types des spécifications. Les modèles en série temporelle, les variables représentent des phénomènes observés à intervalles de temps réguliers. Par exemple la consommation et le revenu annuel de 2000 à 2020 pour un pays donné : Yi = β0 + β1Xi i = 2000, . . . , 2020 Pr. Moad El kharrim Modèle de Régression Linéaire Simple 2021-2022 5 / 39 Construction de Modèle de Régression Présentation Formelle du Modèle Les modèles en coupe instantanée, les variables représentent des phénomènes observés au même instant mais concernant divers individus, par exemple la consommation et le revenu observés sur un échantillon de 20 pays Yi = β0 + β1Xi i = 1, . . . , 20 Yi = Consommation pour le pays i en 2020 Xi = Revenu pour le pays i en 2020 Pr. Moad El kharrim Modèle de Régression Linéaire Simple 2021-2022 6 / 39 Construction de Modèle de Régression Présentation Formelle du Modèle Le modèle qu’il vient d’être spécifié n’est qu’une caricature de la réalité. En effet, ne retenir que le revenu pour l’explication de la consommation est à l’évidence même insuffisant. Il existe une multitude d’autre facteurs susceptibles d’expliquer la consommation. Pr. Moad El kharrim Modèle de Régression Linéaire Simple 2021-2022 7 / 39 Construction de Modèle de Régression Présentation Formelle du Modèle C’est pourquoi nous ajoutons un terme (εi) qui synthétise l’ensemble de ces informations non explicitées dans le modèle. Yi = β0 + β1Xi + εi i = 1, . . . , n Où (ε) représente l’erreur de spécification du modèle, c’est-à-dire l’ensemble des phénomènes explicatifs de la consommation non liés au revenu. Pr. Moad El kharrim Modèle de Régression Linéaire Simple 2021-2022 8 / 39 Construction de Modèle de Régression Présentation Formelle du Modèle Revenu Disponible Consommation Fonction de consommation “réelle” Pr. Moad El kharrim Modèle de Régression Linéaire Simple 2021-2022 9 / 39 Construction de Modèle de Régression Présentation Formelle du Modèle En pratique, le terme (ε) mesure la différence entre les valeurs réellement observées de Yi, et les valeurs qui auraient été observées si la relation spécifiée avait été rigoureusement exacte. Le terme (ε) regroupe donc trois types d’erreurs: ▶Erreur de spécification, c.à.d. le fait que la variable explicative n’est pas suffisante. ▶Erreur de mesure: les données ne représentent pas exactement le phénomène. ▶Erreur de fluctuation d’échantillonnage. Pr. Moad El kharrim Modèle de Régression Linéaire Simple 2021-2022 10 / 39 yp Classiques Estimation des Moindres Carrés Dans la réalité nous ne connaissons pas les valeurs vraies des coefficients On peut seulement observer le valeurs de Y et de X. Les estimateurs de coefficients sont notés respectivement : b β0 et b β1. Ce sont des variables aléatoires, qui suivent les mêmes lois de probabilité, celle de (ε), puisque ils sont fonction de (ε). Pr. Moad El kharrim Modèle de Régression Linéaire Simple 2021-2022 11 / 39 yp Classiques Estimation des Moindres Carrés Revenu Disponible Consommation Fonction de consommation “éstimée” Pr. Moad El kharrim Modèle de Régression Linéaire Simple 2021-2022 12 / 39 yp Classiques Estimation des Moindres Carrés Estimation des paramètres du modèle Yi = β0 + β1Xi + εi pour i = 1, . . . , n Avec : Yi = Variable à expliquer au temps i Xi = Variable explicative au temps i b β0, b β1 = Paramètres du modèle εi = Erreur de spécification n = Nombre d’observations Pr. Moad El kharrim Modèle de Régression Linéaire Simple 2021-2022 13 / 39 yp Classiques Hypothèses H1: E (εi) = 0 pour tout i = 1, ..., n, c’est-à-dire, les erreurs ont une moyenne nulle. H2 : var (εi) = E ε2 i  = σ2 , pour tout i = 1, ..., n, c’est-à-dire, les erreurs ont une variance constante (Homoscédasticité). H3 : E (εiεj) = 0 pour i ̸= j et i, j = 1, ..., n , c’est-à-dire, les erreurs ne sont pas corrélées. H4 : Les valeurs de X sont observés sans erreur (X est non stochastique). H5 : cov (Xi, εi) = 0 pour tout i = 1, ..., n; toutes les variables explicatives ne sont pas corrélées avec le terme d’erreur. H6 : Les εi’s sont indépendants et identiquement distribués N 0, σ2 . Pr. Moad El kharrim Modèle de Régression Linéaire Simple 2021-2022 14 / 39 yp Classiques Estimation des Moindres Carrés Les estimateurs des coefficients b β0 et b β1, sont obtenus en minimisant la distance au carré entre chaque observation et la droite. D’où le nom d’estimateur des moindres carrés ordinaires (MCO) La résolution analytique est la suivante : Min SCR ≡Min n X i=1 e2 i ≡Min n X i=1  Yi −b β0 −b β1Xi 2 Pr. Moad El kharrim Modèle de Régression Linéaire Simple 2021-2022 15 / 39 yp Classiques Estimation des Moindres Carrés En opérant par dérivation par rapport à β0 et β1 (c’est-à-dire les conditions de premier ordre) afin de trouver le minimum de cette fonction, on obtient les résultats suivants : ∂  n P i=1 e2 i  ∂β0 = −2 n P i=1 ei = 0 = ⇒ n P i=1 Yi −nb β0 −b β1 n P i=1 Xi = 0 ∂  n P i=1 e2 i  ∂β1 = −2 n P i=1 eiXi = 0 = ⇒ n P i=1 YiXi −b β0 n P i=1 Xi −b β1 n P i=1 X2 i = 0 On obtient : b β1 = n P i=1 Xi −¯ X  Yi −¯ Y  n P i=1 Xi −¯ X 2 et b β0 = ¯ Y −b β1 ¯ X Pr. Moad El kharrim Modèle de Régression Linéaire Simple 2021-2022 16 / 39 yp Classiques Estimation des Moindres Carrés La spécification du modèle n’est pas neutre: ▶Y = f (X) n’est pas équivalente à X = f (Y ) ▶Le coefficient β1 représente la pente de la droite ou encore la propension marginale. On verra que lorsque les variables sont transformées en logs, le coefficient représentera l’élasticité. Il y a des cas spéciaux où le terme constante est nul: pour exemple le cas d’une fonction de production où le facteur fixe n’intervienne pas. Pr. Moad El kharrim Modèle de Régression Linéaire Simple 2021-2022 17 / 39 yp Classiques Estimation des Moindres Carrés Le modèle de régression linéaire simple peut s’écrire sous deux formes selon qu’il s’agit du modèle théorique spécifié par l’économiste ou du modèle estimé à partir d’un échantillon. Le résidu observé (ei) est donc la différence entre les valeurs observées de la variable à expliquer Yi et les valeurs ajustées b Yi à l’aide des estimations des coefficients du modèle, on a : ei = Yi −b Yi = Yi −b β0 −b β1Xi i = 1, 2, ..., n Pr. Moad El kharrim Modèle de Régression Linéaire Simple 2021-2022 18 / 39 yp Classiques Propriétés Statistiques des Estimateurs des Moindres Carrés Les estimateurs obtenus en utilisant la méthode des moindres carrés ordinaires ont deux proprieté importantes: Estimateurs Sans Biais Consistance (où Convergence) Pr. Moad El kharrim Modèle de Régression Linéaire Simple 2021-2022 19 / 39 yp Classiques Propriétés Statistiques des Estimateurs des Moindres Carrés Estimateurs Sans Biais : E  b β1  = β1 et E  b β0  = β0 Consistance (où Convergence) : ▶ lim n→∞var  b β1  = lim n→∞     σ2 n P i=1 Xi −¯ X 2    = 0 ▶ lim n→∞var  b β0  = σ2     1 n + ¯ X2 n uploads/Ingenierie_Lourd/ chapitre-2-mod-le-de-r-gression-lin-aire-simple.pdf

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