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Cours : Plan d’expériences Chapitre I : Introduction générale et plans factorie

Cours : Plan d’expériences Chapitre I : Introduction générale et plans factoriels 1 I. Chapitre I : Introduction générale et plans factoriels I.1. Introduction L’analyse de données permet d’analyser de grands ensembles de données non structurés, notamment quand les paramètres ne peuvent pas être suffisamment maîtrisés. Ces méthodes d’analyses permettent d’interpréter des essais déjà réalisés et de décrire les influences des paramètres mis en jeu, de manière qualitative. Sous le terme « analyse de données » sont regroupées l’ensemble des méthodes permettant de collecter, d’organiser, de résumer, de présenter et d’étudier des données de façon à en tirer le maximum d’informations. La méthodologie des plans d’expériences permet une recherche expérimentale planifiée appelée « plans d’expériences ». L’expérimentation ne peut pas être quelconque : elle doit fournir l’information désirée. Cette démarche expérimentale va aider l’expérimentateur à structurer sa recherche de manière différente, à confronter et à valider ses propres hypothèses, à mieux comprendre les phénomènes étudiés et à traiter les problèmes. La compréhension de la méthode des plans d’expériences s’appuie sur deux notions essentielles, celle d’espace expérimental et celle de modélisation mathématique des grandeurs étudiées. I.2. Qu’est-ce qu’un plan d’expériences ? Les plans d’expériences constituent essentiellement une stratégie de planification d’expériences afin d’obtenir des conclusions solides et adéquates de manière efficace et économique. La méthodologie des plans d’expériences se base sur le fait qu’une expérience convenablement organisée conduira fréquemment à une analyse et à une interprétation statistique relativement simple des résultats. Les plans d’expériences permettent d’organiser au mieux les essais qui accompagnent une recherche scientifique ou des études industrielles. Ils s’appliquent à de nombreuses disciplines et à toutes les industries à partir du moment où l’on recherche le lien qui existe entre une grandeur d’intérêt « y » et des variables « xi ». Il faut penser aux plans d’expériences si l’on s’intéresse à une fonction du type : y = f (xi). Avec les plans d’expériences, on obtient le maximum de renseignements avec le minimum d’expériences. Pour cela, il faut suivre des règles mathématiques et adopter une démarche rigoureuse. I.3. Domaine d’étude et surface de réponse I.3.1. Domaine d’étude Le domaine d’étude concerne les intervalles délimités par le maximum et le minimum des variables xi. Ce domaine d’étude est fixé par l’expérimentateur selon ses objectifs et le phénomène étudié. Cours : Plan d’expériences Chapitre I : Introduction générale et plans factoriels 2 Figure (I.1) : Les réponses associées aux points du domaine d’étude forment la surface de réponse. I.3.2. Réponse et surface de réponse a) La réponse On qualifie de réponse la grandeur qui est observée pour chaque expérience réalisée. On supposera toujours ici que cette grandeur est numérique et qu’une seule réponse à la fois est observée (des techniques de planification multiréponses existent aussi). Il appartient aux spécialistes du phénomène étudié de cerner au mieux ce qui les intéresse et de fournir le type de réponse étudié ainsi que l’objectif souhaité vis-à-vis de celle- ci. Cet objectif est dans la plupart des cas une recherche d’extremum. b) La surface de réponse Les niveaux xi représentent les coordonnées d’un point expérimental qui y est la valeur de la réponse en ce point. On définit un axe orthogonal à l’espace expérimental (domaine d’étude) et on l’attribue à la réponse. La représentation géométrique du plan d’expériences et de la réponse nécessite un espace ayant une dimension de plus que l’espace expérimental. Un plan à deux facteurs utilise un espace à trois dimensions pour être représenté : une dimension pour la réponse, deux dimensions pour les facteurs. À chaque point du domaine d’étude correspond une réponse. À l’ensemble de tous les points du domaine d’étude correspond un ensemble de réponses qui se localisent sur une surface appelée la surface de réponse. I.4. Les facteurs On qualifie de facteur toute variable, obligatoirement contrôlable, susceptible d’influer sur la réponse observée. La différence fondamentale entre la notion classique de variable et celle de facteur tient donc dans le fait que tout facteur doit pouvoir être modifié sans difficulté. En général, un facteur varie entre deux bornes : la borne inférieure et la borne supérieure. Dans le langage des plans d’expériences, on dit que le facteur varie entre le niveau bas (borne inférieure que l’on note le plus souvent par -1) et le niveau haut (borne supérieure que l’on note le plus souvent par +1). L’ensemble x1 x2 x2-max x2-min x1-min y (Réponse) Surface de réponse x1-min B A C D Domaine d’étude plan (ABDC) Cours : Plan d’expériences Chapitre I : Introduction générale et plans factoriels 3 de toutes les valeurs que peut prendre le facteur entre le niveau bas et le niveau haut s’appelle le domaine de variation. Un facteur peut prendre plusieurs niveaux à l’intérieur de son domaine de variation. Figure (I.2) : Domaine de variation du facteur. L’effet d’un facteur sur la réponse y s’obtient en comparant les deux résultats de mesure y1 et y2 de réponse, mesurée lorsque le facteur passe d’un niveau (0) à un niveau (+). Si l’écart entre y1 et y2 est important, on dit que le facteur est influent ou significatif. I.4.1. Variable centrée réduite (Variable codée) Pour établir un modèle exprimant la réponse en fonction des paramètres opératoires, sa nécessite la transformation de ces derniers en variables codées ou variables centrées réduites. La formule permettant le passage des variables réelles zi aux variables codées xi est : xi = zi −zi 0 Δzi (i = 1, 2, … k) (I.1) Avec : x1, x2, …, xk : Variables centrées réduites ou variables codées ; z1, z2, …, zk : Facteurs contrôlables (variables réelles) ; z1 0, z2 0, … , zk 0: Variables réelles correspondantes au centre du plan ou parfois niveau fondamental ; zi 0 = zi max + zi min 2 (I.2) zi : Unité ou intervalle de variation suivant l’axe des zi ; Δzi = zi max −zi min 2 (I.3) zmin : Valeur minimale de la variable réelle ; zman : Valeur maximale de la variable réelle ; K : le nombre de facteurs indépendants. I.5. Notion d’interaction Lorsque plusieurs facteurs agissent sur la même réponse du système étudiée, alors ils sont susceptibles de provoquer des interactions. Si l’effet d’un facteur dépend du niveau d’un autre facteur, on dit qu’il y a interaction entre ces deux facteurs. Domaine du facteur +1 Axe du facteur Niveau bas Niveau haut -1 Cours : Plan d’expériences Chapitre I : Introduction générale et plans factoriels 4 Le graphique I.3 ci-dessous étudie les effets des facteurs A et B, ayant chacun deux niveaux. On distingue trois cas : Dans le premier cas, on peut observer que l’effet du facteur A ne dépend pas des niveaux de B. En effet les droites correspondantes sont parallèles. De la même façon l’effet de B ne dépend pas des niveaux de A. Cela signifie qu’il n’y a aucune interaction entre les facteurs A et B, aux niveaux testés. On dit alors que les facteurs A et B sont indépendants. Par contre dans le deuxième et troisième cas, on remarque immédiatement que les droites traduisant l’effet des facteurs ne sont pas parallèles. L’effet de A change suivant que le facteur B est au niveau 1 ou 2. Cela signifie qu’une interaction entre les facteurs A et B s’est manifestée. On dit alors que les facteurs A et B ne sont pas indépendants. On peut noter dans le troisième cas, que l’effet de A s’inverse suivant le niveau de B, cela signifie que l’interaction est particulièrement forte. Figure (I.3) : Les différents interactions entre les facteurs A et B, ayant chacun deux niveaux. Cas n° 1 : Les droites sont parallèles ; Il n’y a pas d’interaction ; L’effet de A est indépendant des niveaux de B. Facteur A R22 A1 Réponse A2 R12 R21 R11 Avec B1 Avec B2 Facteur A R22 A1 Réponse A2 R12 R21 R11 Avec B1 Avec B2 Cas n° 2 : Les droites ne sont pas parallèles ; Il y a interaction ; L’effet de A n’est pas indépendant des niveaux de B. Facteur A R22 A1 A2 R11 R21 R12 Réponse Avec B1 Avec B2 Cas n° 3 : Les droites se coupent ; Il y a une très forte interaction ; L’effet de A s’inverse selon le niveau de B. Cours : Plan d’expériences Chapitre I : Introduction générale et plans factoriels 5 I.6. Notion de modèle et de régression linéature multiple I.6.1. Notion de modèle a) Modèle postulé Un modèle mathématique est une traduction d’une observation dans le but de lui appliquer les outils, les techniques et les théories mathématiques, puis généralement, en sens inverse, la traduction des résultats mathématiques obtenus en prédictions ou opérations dans le monde réel. Dans le cas des plans d’expérience on choisit une fonction mathématique qui relie la réponse aux facteurs. On prend un développement limité de la série de Taylor-Mac Laurin. Les dérivées sont supposées constantes et le développement prend la forme d’un polynôme de degré plus ou moins élevé : y = β0 + ∑βixi + ∑βijxixj + uploads/Ingenierie_Lourd/ chapitre-i-introduction-generale-et-plans-factoriels-plan-dexperiences.pdf