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Ch.4 : L’atome en mécanique ondulatoire - Structure électronique des atomes ---

Ch.4 : L’atome en mécanique ondulatoire - Structure électronique des atomes --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 Chapitre 4 L’ATOME EN MECANIQUE ONDULATOIRE STRUCTURE ELECTRONIQUE DES ATOMES I- Notion de la mécanique quantique (ondulatoire) I-1 Dualité onde - corpuscule : Postulat de De Broglie A toute particule (corpuscule) de masse m et de vitesse v est associée une onde de longueur d'onde λ. On applique ainsi à la matière (exemple : un électron) le caractère combiné d'onde et de particule. Pour la lumière : E = hhc/  E = mc2 (2) (1) et (2) ==> mc h   (pour la lumière) Pour tout corpuscule se déplaçant avec une vitesse v : p h   p : quantité de mouvement = m.v Donc La relation de De Broglie s'écrit : mv h   λ : longueur d'onde h : constante de Planck Chaque corpuscule possède deux aspects d’après la mécanique ondulatoire :  Aspect corpusculaire (m) : est prédominant lorsqu’il s’agit de décrire les propriétés des objets macroscopiques  Aspect ondulatoire () : devient prédominant lorsqu’il s’agit de décrire les propriétés d’une grande collection d’objets extrêmement petits (microscopiques). Exemple : e-, p, n. I-2 Principe d'incertitude d'Heisenberg L’une des conséquences les plus importantes de la nature dualistique de la matière est le principe de Heisenberg. Ce principe affirme : « qu’il est impossible de déterminer simultanément la quantité de mouvement et la position exacte d’un corpuscule. » Px.x ≥ h/2 Δx : incertitude sur la position     Δpx = mΔvx : incertitude sur la quantité de mouvement m vx .x ≥ h/2 Et cette relation signifie que si on peut mesurer théoriquement x avec toute la précision voulue x→0), alors vx deviendra grand puisque vx = h/ (2 m x) II- Equation de Schrödinger III-1 Fonction d’onde associée L’onde associée à un électron est une onde stationnaire et son amplitude en chaque point de l’espace est indépendante du temps. C’est une fonction mathématique appelée fonction d’onde représentée par psi).  est une fonction purement mathématique : - elle n’a pas de signification physique, - elle est fonction des coordonnées de l’électron. II-2 Probabilité et densité de probabilité de présence L’électron est caractérisé par :  son état énergétique,  sa probabilité de présence à un endroit donné. - Probabilité de présence: Est la probabilité de trouver l’électron dans un volume dV au point M(x, y, z) s’écrit :  dV t z y x dP 2 , , ,   Ch.4 : L’atome en mécanique ondulatoire - Structure électronique des atomes --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 noyau - La notion classique de position est remplacée par la notion de densité de probabilité de présence. Le rapport 2   dV dP est appelé densité de probabilité de l’électron au point considéré. - Condition de normalisation : Probabilité de trouver l’e- dans tout l’espace = 1  P = tout l’espace II2 II dV = 1 ; dV = dxdydz On dit que la fonction d'onde est normée. II-3 Equation de Schrödinger - Equation fondamentale de la mécanique ondulatoire - Elle permet de calculer . ĤE  : ˆ H Opérateur Hamiltonien ; V m h H            . 8 2 2  m : masse de l'e- V : Opérateur énergie potentiel E : énergie totale de l'électron, appelée valeur propre Ψ : fonction d'onde appelée fonction propre 2 2 2 2 2 Z Y X           ; est le Laplacien 2 2 X   : La dérivée seconde partielle par rapport à la variable X              E V m h . 8 2 2     0 ) 8 2 2      V E h m  Avec 2 2 2 2 2 Z Y X              Dans un puits de potentiel nul l’équation devient : 0 8 2 2 2 2 2 2 2               E h m Z Y X  Equation différentielle du second ordre. Si on prend les coordonnées de l’électron M(X,Y,Z) ; l’équation ne peut avoir de solution sauf si on prend en considération deux points : 1)       Z Y X Z Y X      . . , , :produit de 3 fonctions d’onde unidimensionnelles 2) ET de l’électron dans un espace tridimensionnel est telle que : E(X,Y,Z)= E(X) + E(Y) + E(Z)           0 , , , , 2 2 , , 2 , , 2 2 , , 2               Z Y X Z Y X Z Y X Z Y X Z Y X E Z Y X  avec 2 2 2 8 h m      0 . . . . . , , 2 2 2 2 2 2                       z y X Z Y X Z Y X Y Z X X Z Y E Z Y X  On divise les membres de l’égalité par     Z Y X    . . Ch.4 : L’atome en mécanique ondulatoire - Structure électronique des atomes --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3   0 1 1 1 2 2 2 2 2 2                   Z Y X Z Z Y Y X X E E E Z Y X      0 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2                   Z Z Z Y Y Y X X X E Z E Y E X    Cette équation différentielle tridimensionnelle est nulle si et seulement si les trois équations différentielles unidimensionnelles sont nulles :   0 1 2 2 2       X X X E X   0 2     x x X E  (1) 0 2     Y Y Y E  (2) 0 2     Z Z Z E  (3) La résolution de ces trois équations donne :         X a n a X X  sin 2         Y b n b Y Y  sin 2         Z c n c Z Z  sin 2 La résolution de cette équation conduit aux différentes valeurs de E et Ψ : L’énergie totale de l’électron : En prenant le modèle de Bohr :                2 2 4 2 2 1 2 n h m e k En  En mécanique ondulatoire :                    2 2 2 2 4 2 2 1 1 1 2 Z Y X n n n n h m e k E  nx, ny, nz : nous indiquent la dégénérescence des niveaux énergétiques. (Les orbitales atomiques dégénérées sont les orbitales caractérisées par la même énergie). La résolution de l’équation de Schrödinger conduit à l’apparition de trois nombres appelés les nombres quantiques qui déterminent les valeurs propres de l’énergie et des fonctions d’onde et qui sont : n, l, m. III- Nombres quantiques III-1 Nombre quantique principal n : entier positif non nul, il détermine le niveau énergétique c.-à-d. la couche symbolisée par une majuscule avec la correspondance suivante : n 1 2 3 4 5 6 7 couche K L M N O P Q On appelle couche l'ensemble des orbitales qui possèdent la même valeur de n. III-2 Nombre quantique secondaire (ou azimutal) : nombre entier avec 0    n - 1 .  définit la notion de sous-couche et détermine la géométrie des orbitales atomiques. La sous-couche est aussi symbolisée par une lettre minuscule avec la correspondance suivante :  0 1 2 3 4 5 .Sous-couche s P d f g h Exemple : n = 3  0 c.-à-d. = 0, 1, 2 (s, p, d.)  on a les sous-couches 3s, 3p,3d. A toute valeur de n et est associée une valeur propre de l'énergie. Ch.4 : L’atome en mécanique ondulatoire - Structure électronique des atomes --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 III-3 uploads/Ingenierie_Lourd/ chapitre-3 1 .pdf