Cycle Préparatoire Programmation Mathématique Cours Abdelmalek Aboussoror Année

Cycle Préparatoire Programmation Mathématique Cours Abdelmalek Aboussoror Année Universitaire 2021-2022 Université Cadi Ayyad Ecole Nationale des Sciences Appliquées Marrakech 2 Avant Propos Pour des raisons pédagogiques, les démonstrations des résultats (Théorèmes, Propositions,...) présentés dans ce polycopié ne sont données qu’en Amphi. Certaines d’entre elles sont faites sous forme d’exercices en travaux dirigés. Une bonne compréhension de ces démontrations facilite la résolution des exercices posés en travaux dirigés. A noter aussi que la plu- part des exercices proposés en cours sont corrigés en travaux dirigés. Les prérequis demandés pour ce cours sont essentiellement ceux de topologie, espaces normés, calcul différentiel, algèbre linéaire et bilinéaire. c ⃝Abdelmalek Aboussoror Contents 1 Sous Espaces Affines 5 2 Ensembles convexes 9 2.1 Définitions et Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Propriétés Topologiques des Ensembles Convexes . . . . . . . 10 2.3 L’Enveloppe Convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Séparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5 Point Extrémal et Face . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6 Cône Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 4 CONTENTS Chapter 1 Sous Espaces Affines Ce chapitre est consacré aux sous espaces affines de Rn. Dans ce chapitre on s’intéresse aux définitions et propriétés qui nous seront utiles pour la suite. Notamment, celles qui seront utilisées pour définir et établir quelques propriétés topologiques des ensembles convexes en chapitre 2. Définition 1.1 1) Soient x, x1, ..., xp ∈Rn, p ∈N∗. On dit que x est une combinaison affine de x1, ..., xp, s’il existe λ1, ..., λp ∈R, avec Pp i=1 λi = 1, tels que x = p X i=1 λixi. 2) Soient u0, ..., uq ∈Rn, q ∈N∗. On dit que u0, ..., uq, sont affinement indépendents si pour tous λi ∈R, i = 0, ..., q, vérifiant Pq i=0 λi = 0, et q X i=0 λiui = 0 alors λi = 0 ∀i ∈  0, ..., q . Dans le cas contraire, on dit qu’ils sont affinement dépendents. Proposition 1.1 Soient x0, ..., xk ∈Rn, k ≥2. Alors, les propriétés suiv- antes sont équivalentes : 1) x0, ..., xk, sont affinement indépendents, 2) x1 −x0, ..., xk −x0, sont linéairement indépendents. Preuve. Voir TD. 5 6 CHAPTER 1. SOUS ESPACES AFFINES Remarque 1.1 La propriété 2) de la Proposition 1.1 peut être écrite sous la forme plus générale suivante : Pour tout j ∈  0, ..., k , les vecteurs xi −xj, i = 0, ..., k, i ̸= j, sont linéaire- ment indépendents. Définition 1.2 Soit A un sous ensemble non vide de Rn. L’ensemble A est dit un sous espace affine de Rn, si pour tous x, y ∈A et α ∈R, on a αx + (1 −α)y ∈A i.e., A contient la droite passant par x et y. Exemple 1.1 i) Rn et tout singleton {a}, a ∈Rn, sont des sous espaces affines de Rn. ii) Tout sous espace vectoriel de Rn est un sous espace affine. iii) Soit C = n x ∈Rn/ Ax = b o , où A ∈Mm,n(R) et b ∈Rm. Alors, on vérifie facilement que C est un sous espace affine. Exercice 1.1 Soit A ⊂Rn, A ̸= ∅. Montrer que si A est un sous espace affine contenant 0, alors A est un sous espace vectoriel de Rn. Définition 1.3 Soit A un sous ensemble non vide de Rn. L’enveloppe affine engendrée par A, notée affA, est le plus petit sous espace affine contenant A, i.e., l’intersection de tous les sous espaces affines contenant A affA = \ C sous espace affine A⊂C C. Remarque 1.2 Il est clair d’après la Définition 1.3 que si A et B sont des sous ensembles de Rn avec A ⊂B, on a affA ⊂affB. En effet, on a A ⊂B ⊂affB. Puisque affA est le plus petit sous espace affine contenant A, il s’en suit que affA ⊂affB. Exercice 1.2 Soit A un sous ensemble non vide de Rn. Montrer que 1) aff(affA) = affA, 2) si A est un sous espace affine, alors affA = A. Proposition 1.2 Soient A un sous espace affine de Rn et a ∈A. Alors, A −a est un sous espace vectoriel de Rn. Preuve. Voir TD. 7 Proposition 1.3 Soit A un sous ensemble non vide de Rn. Alors, A est un sous espace affine si et seulement si il existe un sous espace vectoriel V , tel que A soit une translation de V par un élément de A. De plus, le sous espace vectoriel V est unique, appelé le sous espace vectoriel associé à A. Preuve : Preuve donnée en Amphi. Remarque 1.3 Géométriquement, le sous espace V est parallèle à A. De plus, on remarque que le sous espace vectoriel V associé à A ne dépend pas du choix de a dans A. C’est à dire, on peut choisir n’importe quel élément dans A. Définition 1.4 1) Nous appelons la dimension d’un sous espace affine de Rn, la dimension du sous espace vectoriel qui lui est associé. 2) Soit A un sous ensemble non vide de Rn. On appelle dimension affine de A, la dimension de son enveloppe affine affA. Notation : dimA = dim(affA) = dimV, où V est le sous espace vectoriel associé à affA. Théorème 1.1 Soit A un sous ensemble non vide de Rn. Alors affA = n x ∈Rn/ x = k X i=1 αixi, xi ∈A, αi ∈R, i = 1, ..., k, k X i=1 αi = 1, k ∈N∗o Preuve. Preuve donnée en Amphi. Proposition 1.4 Soient A un sous ensemble non vide de Rn et x0 ∈A. Alors affA = Vect(A −x0) + x0 où Vect(A −x0) désigne le sous espace vectoriel de Rn engendré par A −x0. Donc, Vect(A −x0) est le sous espace vectoriel associé à affA. Preuve. Preuve donnée en Amphi. Exercice 1.3 Soient C1 et C2 deux sous ensembles non vides de Rn tels que C1 ⊂C2. 1) Montrer que affC1 ⊂affC2. 2) Supposons que dim(affC1) = dim(affC2). Montrer que affC1 = affC2. Proposition 1.5 Soient C1 et C2 deux sous ensembles de Rn et Rm, respec- tivement. Alors aff(C1 × C2) = affC1 × affC2. 8 CHAPTER 1. SOUS ESPACES AFFINES Preuve. Voir TD. Exemple 1.2 Soit C =  0, 1  × {1}. Alors affC = aff  0, 1  × aff({1}) = R × {1}. Proposition 1.6 Soient X et Y deux sous ensembles non vides de Rn. Soit (α, β) ∈R2. Alors aff(αX + βY ) = αaffX + βaffY . Preuve. La preuve est laissée comme exercice (voir TD). Chapter 2 Ensembles convexes 2.1 Définitions et Propriétés Définition 2.1 1) Soit C un sous ensemble de Rn. On dit que C est convexe si ∀x, y ∈C, ∀λ ∈  0, 1  , λx + (1 −λ)y ∈C i.e., C contient le segment  x, y  . 2) Soient xi ∈Rn, i = 1, ..., k, k ∈N∗. Toute somme de la forme α1x1 + ... + αkxk, avec αi ∈  0, 1  , i = 1, ..., k, Pk i=1 αi = 1, est appelée une combinaison convexe de x1, ..., xk. Exemple 2.1 1) L’ensemble Rn, l’ensemble vide ∅, et tout singleton {a}, a ∈Rn, sont des convexes. 2) Toute boule de Rn est convexe. 3) Soit A ⊂R, avec A =  1, 2  ∪  3, 4  . Alors, A est non convexe. Par exemple la combinaison convexe 1 2.2 + (1 −1 2).3 = 5 2 ̸∈A. C Fig 2.1 : C est convexe C Fig 2.2 : C est non convexe Nous avons les propriétés élémentaires suivantes : Proposition 2.1 1) Soient C et D deux sous ensembles de Rn. On a 9 10 CHAPTER 2. ENSEMBLES CONVEXES i) si C est convexe, alors, pour tout réel α, αC = n αx, x ∈C o est convexe, ii) si C et D sont convexes, alors, C + D = n x + y/ x ∈C, y ∈D o est convexe. 2) Soient C et D deux sous ensembles non vides de Rn et Rm, respective- ment. Alors, C × D est un convexe de Rn × Rm si et seulement si C et D sont convexes. Preuve. Les preuves sont laissées sous forme d’exercice. Remarque 2.1 D’après i) et ii) de la Proposition 2.1, on déduit que si C uploads/Ingenierie_Lourd/ chapitres-1-et-2-programmation-mathematique.pdf

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Ingénierie convexe ensemble soient preuve. ensembles
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