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Exercice 2 Soit (X, T, µ) un espace mesur´ e o` u µ est une mesure de probabili

Exercice 2 Soit (X, T, µ) un espace mesur´ e o` u µ est une mesure de probabilit´ e. On note T ′ = {A ∈T; µ(A) = 0 ou µ(A) = 1}. Montrer que T ′ est une tribu sur X. Pr. MESSAOUD ( Ecole Hassania des Travaux Publics D´ epartement Math´ ematique Informatique G´ eomatique ) Int´ egrale de Lebesgue 24-09-2019 1 / 2 Exercice 2 X ∈T et µ(X) = 1 ⇒X ∈T ′ Pr. MESSAOUD ( Ecole Hassania des Travaux Publics D´ epartement Math´ ematique Informatique G´ eomatique ) Int´ egrale de Lebesgue 24-09-2019 2 / 2 Exercice 2 X ∈T et µ(X) = 1 ⇒X ∈T ′ A ∈T ′ ⇒A ∈T ⇒Ac ∈T Pr. MESSAOUD ( Ecole Hassania des Travaux Publics D´ epartement Math´ ematique Informatique G´ eomatique ) Int´ egrale de Lebesgue 24-09-2019 2 / 2 Exercice 2 X ∈T et µ(X) = 1 ⇒X ∈T ′ A ∈T ′ ⇒A ∈T ⇒Ac ∈T µ(Ac) = µ(X\A) = µ(X) −µ(A) = (1 −µ(A)) ∈{0, 1} ⇒Ac ∈T Pr. MESSAOUD ( Ecole Hassania des Travaux Publics D´ epartement Math´ ematique Informatique G´ eomatique ) Int´ egrale de Lebesgue 24-09-2019 2 / 2 Exercice 2 X ∈T et µ(X) = 1 ⇒X ∈T ′ A ∈T ′ ⇒A ∈T ⇒Ac ∈T µ(Ac) = µ(X\A) = µ(X) −µ(A) = (1 −µ(A)) ∈{0, 1} ⇒Ac ∈T Soit (An)n∈N est une suite d’´ el´ ements de T’ ⇒(An)n∈N est une suite d’´ el´ ements de T⇒S n≥0 An ∈T Pr. MESSAOUD ( Ecole Hassania des Travaux Publics D´ epartement Math´ ematique Informatique G´ eomatique ) Int´ egrale de Lebesgue 24-09-2019 2 / 2 Exercice 2 X ∈T et µ(X) = 1 ⇒X ∈T ′ A ∈T ′ ⇒A ∈T ⇒Ac ∈T µ(Ac) = µ(X\A) = µ(X) −µ(A) = (1 −µ(A)) ∈{0, 1} ⇒Ac ∈T Soit (An)n∈N est une suite d’´ el´ ements de T’ ⇒(An)n∈N est une suite d’´ el´ ements de T⇒S n≥0 An ∈T Cas 1 : ∀n ∈N, µ(An) = 0 ⇒0 ≤µ( S n≥0 An) ≤P n≥0 µ(An) = 0 ⇒µ( S n≥0 An) = 0 ⇒S n≥0 An ∈T ′ Pr. MESSAOUD ( Ecole Hassania des Travaux Publics D´ epartement Math´ ematique Informatique G´ eomatique ) Int´ egrale de Lebesgue 24-09-2019 2 / 2 Exercice 2 X ∈T et µ(X) = 1 ⇒X ∈T ′ A ∈T ′ ⇒A ∈T ⇒Ac ∈T µ(Ac) = µ(X\A) = µ(X) −µ(A) = (1 −µ(A)) ∈{0, 1} ⇒Ac ∈T Soit (An)n∈N est une suite d’´ el´ ements de T’ ⇒(An)n∈N est une suite d’´ el´ ements de T⇒S n≥0 An ∈T Cas 1 : ∀n ∈N, µ(An) = 0 ⇒0 ≤µ( S n≥0 An) ≤P n≥0 µ(An) = 0 ⇒µ( S n≥0 An) = 0 ⇒S n≥0 An ∈T ′ Cas 2 : ∃k ∈I ⊂N, tel que µ(Ak) = 1 On a 1 = µ(Ak) ≤µ( S n≥0 An) (car Ak ⊂S n≥0 An ) ⇒1 ≤µ( S n≥0 An) ≤1 (car µ est une mesure de probabilit´ e) ⇒µ( S n≥0 An) = 1 ⇒S n≥0 An ∈T ′ Pr. MESSAOUD ( Ecole Hassania des Travaux Publics D´ epartement Math´ ematique Informatique G´ eomatique ) Int´ egrale de Lebesgue 24-09-2019 2 / 2 uploads/Ingenierie_Lourd/ corrige-de-l-x27-exercice-2-copie.pdf