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.......................................................................... Cahier technique n° 18 Analyse des réseaux triphasés en régime perturbé à l’aide des composantes symétriques B. de Metz-Noblat Collection T echnique Les Cahiers Techniques constituent une collection d’une centaine de titres édités à l’intention des ingénieurs et techniciens qui recherchent une information plus approfondie, complémentaire à celle des guides, catalogues et notices techniques. Les Cahiers Techniques apportent des connaissances sur les nouvelles techniques et technologies électrotechniques et électroniques. Ils permettent également de mieux comprendre les phénomènes rencontrés dans les installations, les systèmes et les équipements. Chaque Cahier Technique traite en profondeur un thème précis dans les domaines des réseaux électriques, protections, contrôle-commande et des automatismes industriels. Les derniers ouvrages parus peuvent être téléchargés sur Internet à partir du site Schneider Electric. Code : http://www.schneider-electric.com Rubrique : Le rendez-vous des experts Pour obtenir un Cahier Technique ou la liste des titres disponibles contactez votre agent Schneider Electric. La collection des Cahiers Techniques s’insère dans la « Collection Technique » de Schneider Electric. Avertissement L'auteur dégage toute responsabilité consécutive à l'utilisation incorrecte des informations et schémas reproduits dans le présent ouvrage, et ne saurait être tenu responsable ni d'éventuelles erreurs ou omissions, ni de conséquences liées à la mise en œuvre des informations et schémas contenus dans cet ouvrage. La reproduction de tout ou partie d’un Cahier Technique est autorisée après accord de la Direction Scientifique et Technique, avec la mention obligatoire : « Extrait du Cahier Technique Schneider Electric n° (à préciser) ». n° 18 Analyse des réseaux triphasés en régime perturbé à l’aide des composantes symétriques CT 18(e) édition décembre 2002 Benoît de METZ-NOBLAT Ingénieur ESE, il a travaillé dans le Groupe Saint-Gobain puis est entré chez Merlin Gerin en 1986. Il a la responsabilité du Service Electrotechnique et Réseaux, dans lequel sont étudiés les phénomènes électriques concernant le fonctionnement des réseaux et leur interaction avec les matériels et équipements. Cahier Technique Schneider Electric n° 18 / p.2 Cahier Technique Schneider Electric n° 18 / p.3 Analyse des réseaux triphasés en régime perturbé à l’aide des composantes symétriques Le dimensionnement d’une installation et des matériels à mettre en œuvre, le réglage des protections, comme l’analyse de phénomènes électriques, nécessitent souvent des calculs de courants et de tensions dans des réseaux. Le développement de ce Cahier Technique a pour but de présenter ou rappeler une méthode simple de calcul - à l’aide des composantes symétriques - de tous ces paramètres dans des réseaux triphasés en régime perturbé. Sommaire 1 Présentation p. 4 2 Rappel mathématique sur les vecteurs 2.1 Représentation vectorielle d’un phénomène physique p. 5 2.2 Définition de base p. 5 2.3 Représentation vectorielle p. 6 2.4 Composantes symétriques p. 7 2.5 Décomposition d’un système triphasé en ses composantes p. 8 symétriques 2.6 Calcul mathématique des composantes symétriques p. 9 2.7 Conclusion : application à l’électrotechnique p. 10 3 Applications élémentaires 3.1 Méthode de calcul des régimes déséquilibrés p. 11 3.2 Défaut phase – terre (dit défaut homopolaire) p. 12 3.3 Défaut biphasé p. 14 3.4 Défaut triphasé p. 15 3.5 Réseau à charge déséquilibrée p. 16 3.6 lmpédances associées aux composantes symétriques p. 17 3.7 Formulaire récapitulatif p. 18 4 Exemples chiffrés 4.1 Exemple 1 p. 19 4.2 Exemple 2 p. 20 4.3 Exemple 3 p. 24 4.4 Exemple 4 p. 25 Annexe p. 27 Cahier Technique Schneider Electric n° 18 / p.4 1 Présentation En fonctionnement normal équilibré symétrique, l’étude des réseaux triphasés peut se ramener à l’étude d’un réseau monophasé équivalent de tensions égales aux tensions simples du réseau, de courants égaux à ceux du réseau et d’impédances égales à celles du réseau appelées impédances cycliques. Dès qu’apparaît une dissymétrie significative dans la configuration du réseau, la simplification n’est plus possible, car on ne peut établir les relations dans les différents conducteurs à l’aide d’une impédance cyclique par élément de réseau. La méthode générale faisant appel aux lois d’Ohm et de Kirchhoff est possible mais complexe et lourde. La méthode, dite des composantes symétriques, décrite dans ce document simplifie les calculs et permet une résolution beaucoup plus facile en se ramenant à la superposition de trois réseaux monophasés indépendants. Après un rappel de notions vectorielles, cette méthode est développée à partir d’applications élémentaires sur différents types de court-circuit, suivis d’exemples chiffrés de cas réels. Cahier Technique Schneider Electric n° 18 / p.5 2 Rappel mathématique sur les vecteurs 2.1 Représentation vectorielle d’un phénomène physique Un phénomène physique vibratoire est sinusoïdal quand l’élongation d’un point vibrant est une fonction sinusoïdale du temps : x = a cos(ωt + ϕ). L’application à l’électrotechnique, dans laquelle tensions et courants sont des phénomènes sinusoïdaux, est bien connue. c Considérons un vecteur OM de module a, tournant dans le plan (Ox, Oy) autour de son origine O avec une vitesse angulaire constante ω (cf. fig. 1 ). Si à l’instant initial t = 0, l’angle(Ox, OM) a la valeur ϕ, à l’instant t il aura la valeur (ωt + ϕ). Projetons le vecteur courant OM sur l’axe Ox. La valeur algébrique de sa projection est, à l’instant t : x = a cos(ωt + ϕ). Ainsi : v le mouvement de la projection de l’extrémité du vecteur tournant sur l’axe Ox est un mouvement sinusoïdal d’amplitude a égale au module de ce vecteur, v la pulsation ω du mouvement sinusoïdal est égale à la vitesse angulaire du vecteur tournant, v la phase initiale ϕ est égale à l’angle que fait le vecteur tournant avec l’axe Ox à l’instant initial t = 0. c Réciproquement on peut faire correspondre un vecteur tournant à toute fonction sinusoïdale x = a cos(ωt + ϕ). Par convention on représente la fonction x par le vecteur OM dans la position qu’il occupe à l’instant initial t = 0 ; le module du vecteur représente l’amplitude a de la fonction sinusoïdale et l’angle(Ox, OM)représente sa phase initiale. c Donc l’étude d’un phénomène physique sinusoïdal peut se ramener à l’étude du vecteur qui lui correspond. Ceci est intéressant car la manipulation mathématique sur les vecteurs est assez aisée. Cela s’applique en particulier au domaine des phénomènes électriques triphasés dans lesquels tensions et courants sont représentés par des vecteurs tournants. Fig. 1 2.2 Définition de base c soit un phénomène électrique vibratoire sinusoïdal représenté par un vecteur tournant V (cf. fig. 2 ). On se donne a priori dans le plan : c Un axe de référence Ox de vecteur unitaire x : x = 1. c Un sens de rotation conventionnellement défini comme positif dans le sens anti-horaire + . c Le vecteur Vdont on ramène l’origine en O est essentiellement caractérisé par : v une amplitude V: à un instant donné, la longueur du vecteur est égale numériquement au module de la grandeur du phénomène, v une phase ϕ : c’est à un instant donné, l’angle (Ox, V), que fait V avec l’axe de référence Ox, compte tenu du sens de rotation adopté, v une pulsation : c’est la vitesse constante de rotation du vecteur en radians par seconde. Fig. 2 On l’exprime très fréquemment en tours par secondes, il s’agit alors de la fréquence du phénomène donnée en Hz (1 Hz = 2π rd/s). c Un système triphasé est un ensemble de 3 vecteurs V , V , V 1 2 3 , de même origine, de même pulsation et ayant chacun une amplitude constante. c Un système électrique est linéaire quand il y a proportionnalité des relations de causes à effets. Cahier Technique Schneider Electric n° 18 / p.6 2.3 Représentation vectorielle Le vecteur Vest représenté classiquement dans un système d’axes de coordonnées rectangulaires (cf. fig.3 ). V = = + = + OM OX OY OX x OY y c Opérateur « j » Pour faciliter les opérations sur les vecteurs, V peut être représenté de façon équivalente par un nombre complexe en utilisant l’opérateur « j ». « j » est un opérateur vectoriel qui consiste à faire tourner de + π/2 le vecteur auquel l’opération est appliquée, donc j x y = . On voit alors que : j j j 2 3 4 2 2 2 2 = = = = = = -1 (rotation de 2 -1 (rotation de 3 +1 (rotation de 4 2 ) 3 ) ) π π π π π π d’où : V OX x OY j x x OX j OY = + = + ( ) c Opérateur « a » « a » est un opérateur vectoriel qui consiste à faire tourner de + 2π/3 le vecteur auquel l’opération est appliquée (cf. fig. 4 ). On voit alors que : v a2 fait tourner un vecteur de : 2 2 3 3 2 3 4 (équivalent à - ) π π π = v a3 fait tourner un vecteur de : 3 2 2 3 π π = (équivalent à 0) a j a j = + = - 0,5 - 0,5- 3 2 3 2 2 d’où a0 = a3 = a6… = 1 a = a4 = a7… a2 uploads/Ingenierie_Lourd/ ct-18.pdf