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L.S.C.J.Gafsa Date:21 Février 2011 Classe: 4è.Math 2 Prof:B.Tabbabi DEVOIR DE C

L.S.C.J.Gafsa Date:21 Février 2011 Classe: 4è.Math 2 Prof:B.Tabbabi DEVOIR DE CONTROLE N°2 Durée: 2 heures Exercice 1: ( 3 points ) Répondre par " vrai" ou "faux" ( aucune justification n'est demandée). 1. 1 2 0 2 2 dt t    ; 2. Si f est une fonction continue et positive sur IR ,alors pour tous réels a et b , b a ( ) f t dt  est positive. 3.Toute similitude admet un unique point fixe Exercice 2: ( 6 points ) Soit n un entier naturel non nul.On pose I n   1 2 0 1 n x dx    . 1.Vérifier que 1 2 3 I  et que 2 2 4 . 3 5 I  . 2.Vérifier que   1 2 2 1 0 1 n n n I I x x dx      . 3.a.Au moyen d'une intégration par parties,montrer que 1 2 2 2 3 n n n I I n     . b.Montrer alors, par récurrence, que pour tout n de IN* on a: 2 4 6 2 . . ....... 3 5 7 2 1 n n I n  . 4.On considère les deux fonctions définies sur IR par   sinx 2 0 ( ) 1 n F x t dt    et G x 2 1 0 ( ) cos n x t dt   . a.Montrer que F et g sont dérivables sur IR et déterminer F ' (x) et G ' (x). b.En déduire que pour tout x de IR on a: F(x) = G(x). c.En déduire que 2 1 2 0 cos n n I t dt    . Exercice 3:( 6 points ) Soit ABC un triangle rectangle en B de sens direct tel que AB = 2 et BC = 3. 1.Soit f la similitude directe qui envoie A sur B et B sur C. a.Déterminer l'angle et le rapport de f. b.Soit H le projeté orthogonal de B sur ( AC ).Montrer que H est le centre de f. 2.Soit D = f ( C ).Montrer que D appartient à la droite ( BH ) puis construire D. 3.Soit g la similitude indirecte qui envoie A sur B et B sur C.On désigne par  le centre de g. a.Montrer que f 1 ( ) BC g S   . b.Soit E = g ( C ).Déterminer S ( )( ) BC E .Construire alors E. c.Préciser la nature de g g  .Montrer que  appartient à ( AC ) et à ( BE ). d.Construire alors  et l'axe  de g. Exercice 4: ( 5 points ) On considère la fonction f définie sur 0, 2        par sin ( ) 1 sin x f x x  . 1.Vérifier que pour tout x de 0, 2        on a:   2 cos ' ( ) 1 sin x f x x   . 2.Montrer alors que f realise une bijection de 0, 2        sur un intervalle J que l'on précisera. 3.On note f 1  la function réciproque de f. Calculer 1 1 3 f       et 1 1 1 2 f        . 4.Montrer que f 1  est derivable sur 1 0, 2       et que   1 1 ' ( ) (1 ) 1 2 f x x x     pour tout x de 1 0, 2       . * * * * * * * Bon travail uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-de-controle-n02-math-bac-math-2010-2011-mr-boubaker-tabbabi.pdf