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DIRECTION REGIONALE BACCALAUREAT BLANC UNIQUE – SESSION 2013 DE L’EDUCATION NAT

DIRECTION REGIONALE BACCALAUREAT BLANC UNIQUE – SESSION 2013 DE L’EDUCATION NATIONALE Mathématique ALAOTRA MANGORO Durée : Coef. : Série : D ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercice 1 1. Résoudre dans ¢ l’équation z2 + 2(1-4i) z – 15 – 16i = 0 2. Dans le plan complexe (P) muni d’un repère orthonormé direct (O, u, v), on donne les points A, B, C et D d’affixes respectives i ; 2 – i ; -3 + 2i et 1 + 6i 3. Soit S la similitude plane directe qui transforme le point A en C et le point B en D a) Ecrire l’expression complexe de S et donner ses éléments géométriques b) Déterminer les expressions complexes de l’homothétie H et de la rotation R telles que S = HOR c) On pose Sn = So So………oS (n fois par elle – même) Pour quelles valeurs de n, Sn soit-elle une homothétie 4. a) Placer les points A ; B ; C et D dans le plan complexe (P) b) Déterminer et construire l’ensemble (E) des points M d’affixe z tel que z – i = z – 2 + i Exercice 2 On dispose de 2 dés cubique D1 et D2 parfaitement équilibrés dont D1 porte sur ses 6 faces les nombres 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 D2 porte sur ses 6 faces les nombres 0 ; 0 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2 1. Un essai consiste à lancer simultanément ces deux dés. On note par a le numéro sorti du dé D1 et par b celui du dé D2 Calculer la probabilité des évènements suivant A : « le produit des numéros obtenus est non nul » B : « la somme des numéros obtenus est égale à 2 » 2. A chaque couple (a, b) obtenu, on associe la variable aléatoire réelle x telle que x (a, b) = a) Donner l’univers image de x et déterminer la loi de probabilité de x b) Définir la fonction de répartition F de x 3. Une épreuve comporte 5 essais successifs et d’une manière indépendante st si lors d’un essai, le produit des numéros obtenus est non nul, on marque 1 point, sinon on marque 0 point. 4. Soit Y la variable aléatoire réelle égale au nombre de point marqués à la fin de l’épreuve a) Déterminer l’univers – image de Y b) Quelle est la loi décrite par Y ? en déduire la loi de probabilité de Y c) Calculer E (Y) ; V (Y) et G (Y) 0 sinon a si a b PROBLEME On considère la fonction numérique f définie par ( ) { ( ) On note par ( ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, u, v), d’unité 2cm. 1. Montrer que f est continue en 1 2. Etudier la dérivabilité de f au point d’abscisse 1 On donne : ( ) Donner l’interprétation géométrique du résultat 3. On suppose que ( ) Calculer ( ) ( ) 4. Soit - , ( ) ( ) a) Etudier la variation de g b) Déduire le signe de ( ) - , 5. a) Etudier la variation de f b) Montrer que l’équation ( ) - , 6. Montrer que la droite ( ) ( ) ( ) ( ) 7. Montrer que le point A d’abscisse 2 est un point d’inflexion de ( ) 8. Tracer les droites (Δ1) et (Δ2) et la courbe ( ) 9. A l’aide d’une intégration par partie, calculer l’aire A du domaine plan limité par la courbe ( ) ( ) On donne : GRILLE DE CORRECTION Exercice 1 1. S = { - 3 ; 2 i ; 1 + 6 i } 2. a) Ω ( - 1 ; 0 ) K = 2 b) ( ) ( ) c) [ ] 3. a) Construction A, B, C et D dans ¢ b) | | | | AM = BM M Є médiatrice du segment [AB] Exercice 2 1- ( ) ( ) 2- a) ( ) * + 0 1 2 3 ( ) b) 3- a) ( ) * + b)Loi binominale de paramètre ( ̅) ( ) [ ] [ ] * + ) ( ) ( ) ( ) √ - , , , , , , , , , ( ) 0 1 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- PROBLEME 1°) lim f(x) = f(1) = - 1 , f est continue à gauche de 1 x → 1- lim f(x) = f(1) = -1 , f est continue à droite de 1 x → 1+ f est continue en xo = 1 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2°) . lim ( ) ( ) = 0 f est dérivable à gauche de 1 x - . lim ( ) ( ) - ∞ f n’est pas dérivable à droite de 1 x → 1+ x 1+ d’où f n’est pas dérivable et la courbe (C) admet deux demi-tangeantes dont l’une est horizontale et l’autre vérticale. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3°) lim ( ) = 0 et que lim x - ∞ x + ∞ lim f(x) = + ∞ ; lim f(x) = + ∞ x → - ∞ x → + ∞ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4°) a) g΄(x) = e 1-x (x – 2) Si x ]1 ; 2 ] g est décroissante Si x [2 ; + ∞ ] g est croissante b) g(2) 1 – e -1 > O g est positif 5°) a) Pour x < 1 f’(x) = f est décroissante X -∞ 1 X – 1 _ 2 – x + F’(x) _ Pour x > 1 f’x = 1 – (x – 1) e1 – x g(x) > 0 f est strictement croissante x 1 2 -∞ g’(x) b) f est continue et strictement croissante sur ] - ∞ ; 1[ te f(-2) et f(-1) sont des signes contraires d’où f(x) = 0 admet une solution unique α sur + - ∞ ; 1[ et -2 < α < -1“ 6°) lim f(x) – (x-3) = 0 x + ∞ x -3 est une asymptote oblique au voisinage de + ∞ ( ) = - ∞ x - ∞ (C) admet une branche parabolique de direction asymptotique d’équation - x au voisinage de - ∞ 7°) x 1 2 + ∞ f ( ) - + f “ (x) s’annule en 2 en changeant des signes d’où le point A d’abscisse 2 est un point d’inflexion. x - ∞ 1 + ∞ f’(x) 0 - ∞ f(x) + ∞ +∞ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 8°) GRAPHIQUE 9°) A =∫( ( ) ( ) )4cm2 A =3,2cm DIRECTION REGIONALE DE BACCALAUREAT BLANC UNIQUE - 2013 DE L’EDUCATION NATIONALE Mathématique ALAOTRA MANGORO Durée : Série : C Coef : --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercice : (4pts) I . 1- Soit a = 4p 32 dans la base 5 où p est un entier naturel inférieur ou égal à 4 . Déterminer p pour que a soit divisible par 7 (0,5pt) 2- Soit à résoudre dans le système (S) : 2x2 + x -3 = 0 [7] | x |<10 Soit (E) l’équation définie sur / 7 par ̅x2 + x - ̅ = ̅ a) Montrer que , on a ̅ x2 + x - ̅ = 0 si et seulement si ̅ (x - ̅)( x - ̅) = ̅ (0,5pt) b) En déduire la résolution de (E) dans (0,5pt) c) En utilisant les questions a) et b) , déterminer toutes les solutions de S (0,5pt) II . Une urne contient une boule numérotée 1 ; 2 boules numérotées 2 ; …. ; k boules numérotées k. 1. On suppose qu’il y a 55 boules dans l’urne a)Déterminer la valeur de k (0,5pt) b)On tire une boule de l’urne. Déterminer la probabilité pour que cette boule soit le numéro impair. (0,25) 2. Dans cette question, on prend k un entier quelconque et impair. On tire une boule de l’urne. a) Déterminer le nombre de tirages possibles (0,5pt) b) Exprimer en fonction de k la probabilité des évènements suivants : A : « avoir une boule portant le numéro impair » B : « avoir une boule portant un numéro strictement supérieur à » (0,5pt) PROBLEME I (9pts) D ; B ; C sont sur une droite horizontale avec DB = 2 et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ABC est un triangle direct isocèle et rectangle en A . Soit r la rotation de centre A d’angle et S1 la similitude de centre C, de rapport 2 et d’angle . On pose alors s = s1 o r 1) a- Construire les points A ; B ; C ; D (1pt) b- Déterminer le barycentre du système (B ; 4) ; (C ; -1) (0,5pt) c- Déterminer et construire l’ensemble ( ) des points M tels que 4MB2 – MC2 = 0 (0,5) 2) a- Préciser la nature, le rapport et l’angle de S (1pt) b- Déterminer l’image de B par S (0,5pt) 3) Soit Ω le uploads/Ingenierie_Lourd/ maths-d-sujet-et-corrige-et-c-sujet.pdf