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L1S2 Economie — Université de Tours Notes de Cours 2019-2020 Emmanuel Chasseign

L1S2 Economie — Université de Tours Notes de Cours 2019-2020 Emmanuel Chasseigne Introduction à l’optimisation — Le but est de chercher des min/max de fonctions de plu- sieurs variables f(x1, x2, . . . xN). Typiquement trouver le meilleur rendement d’un moteur, d’une entreprise ou minimiser un coût de production etc. On est en général dans des problèmes avec contraintes : un moteur ne peut tourner aussi vite qu’on le souhaite, il y a une limite ; de même la quantité de ressources disponible est souvent une quantité positive. La recherche des extrema globaux passe souvent par la détermination en premier lieu des extrema locaux. On devra aussi s’intéresser aux “valeurs aux bords”. Dans le cas de la dimension 1 (une seule variable), on peut utiliser le tableau de variations de la fonction x 7! f(x). Cela fonctionne très bien mais malheureusement ne se généralise pas en dimension supérieure. Il faudra donc utiliser d’autres outils qui, eux, se généralisent très bien : Développements limités, points critiques, convexité etc. Dans ce cours, on ne va pas développer la théorie générale de l’optimisation mais on va se concentrer sur des cas très emblématiques et développer la plupart des outils fondamentaux. Nous allons nous contenter d’étudier : (i) Le cas des dimensions 1 et 2 ; (ii) L’optimisation dans les ensembles bornés ; (iii) le cas des fonctions régulières. 1 L1S2 Economie — Université de Tours Notes de Cours 2019-2020 Emmanuel Chasseigne Cours Numéro 1 — Optimisation en dimension 1 (a) Tableau de variations — Exemple : f(x) = x2 −2x + 2. On voit que le max global vaut 2, il est atteint en x = 0 et x = 2 (sur les bords) et le min global vaut 1, il est atteint en x = 1 (à l’intérieur). (b) Rappels sur les DL — On a des DL de tous ordres si f est suﬃsamment régulière mais pour l’optimisation, les plus importants sont f(x0 + h) = f(x0) + hf0(x0) + hn✏1(h) f(x0 + h) = f(x0) + hf0(x0) + h2 2 f00(x0) + h2✏2(h) où ✏1, ✏2 tendent vers zéro lorsque h ! 0. Ces DL donnent des renseignements locaux, au voisinage du point x0. Rappel : cela signiﬁe qu’il existe δ > 0 tel que le développement est valable pour |h| < δ, autrement dit sur ]x0 −δ, x0 + δ[. En particulier, l’équation de la tangente en x0 est donnée par Tx0 : y = f0(x0)(x −x0) + f(x0) . (c) Points critiques — Un point critique est par déﬁnition un point où f0 s’annule. La conséquence est que en un tel point, la tangente est horizontale. Théorème (CN1) – Si f est régulière et admet un extremum local en x0, alors f0(x0) = 0. La preuve se fait à l’aide d’un DL1 en utilisant intelligemment le fait qu’on peut se situer à gauche et à droite du point x0. Attention : la réciproque est fausse, il faut plus d’information. Exemple typique : f(x) = x3. (d) Convexité — Il y a plusieurs notions de convexité qui sont toutes équivalentes si f est régulière (deux fois dérivable). Par exemple : Proposition – une fonction f régulière est convexe sur un intervalle I si pour tout x 2 I, f00(x) ≥0. Proposition – Soit f : I ! R régulière et x0 2 I à l’intérieur. Si f00(x0) > 0 alors f est strictement convexe au voisinage de x0. Pour une fonction concave c’est évidemment l’opposé. Par ailleurs, un point d’inﬂexion est un point où f change de convexité. 2 (e) Condition suﬃsante — Le résultat suivant précise la condition CN1 et permet de s’assure qu’on a bien un extremum sous une condition d’ordre 2. Théorème (CS2) – Soit f : I ! R une fonction régulière et x0 un point critique intérieur. Si f00(x0) > 0 on a un minimum strict local au point x0. Si f00(x0) < 0 on a un maximum strict local au point x0. Si f00(x0) = 0 alors on ne peut rien conclure, il faut pousser le DL. La preuve se fait à l’aide d’un DL2. (f) Méthode — On a donc à disposition une autre méthode que le tableau de variation pour trouver les extrema globaux de f sur un intervalle I. (i) Trouver les points critiques à l’intérieur de I. (ii) Déterminer leur nature à l’aide de f00. (iii) Comparer les valeurs de f avec les valeurs au bord. Exemple (Exercice 5 TD1) : déteminer extrema globaux de 2x3 −3x2 −12x + 4 sur I = [−2, 0]. 3 L1S2 Economie — Université de Tours Notes de Cours 2019-2020 Emmanuel Chasseigne Cours Numéro 2: Eléments de géométrie du plan. Le but de ce cours est de présenter quelques notions de base sur les vecteurs, droites, cercles et la géométrie analytique dans le plan, notions qui seront très utiles dans la suite. (a) Vecteurs du plan On peut déﬁnir la notion de vecteur de plusieurs façons diﬀérentes, intuitives ou formelles. Pour démarrer nous adopterons la déﬁnition suivante : Déﬁnition – un vecteur du plan est un objet mathématique qui possède (ou encode) trois caractéristiques : une longueur, une direction et un sens. Souvent, on convient de noter avec une ﬂèche les vecteurs : ~ u,~ v etc. mais, en particulier en mathématiques, on les enlève par la suite. Dans le plan, si on utilise le système de coordonées usuelles avec une origine O, un axe des x et un axe des y, les vecteurs ont deux composantes, qui sont deux nombres réels. On note donc ~ u(a, b) ou ~ u = (a, b), et en général on préfèrera l’écriture sous forme de colonne pour des raisons qui seront claires plus tard. Par exemple, ~ u = 2 1 ! est un vecteur qui a pour composantes 2 en x et 1 en y. Attention, un vecteur est un objet géométrique qui est en lui-même indépendant du système de coor- données, mais dont la valeur des composantes peut dépendre du système choisi (diﬃculté qui sera abordée plus tard). Déﬁnition – La longueur d’un vecteur ~ u est également appelée norme, on la note k~ uk, elle est calculée à l’aide de la distance euclidienne : si ~ u = (a, b) alors k~ uk = p a2 + b2 . Cas particulier : le vecteur nul, noté ~ 0 a pour composantes (0, 0), pour lequel aucune direction n’est déﬁnie, mais qui a une longueur nulle. 1 Attention, les vecteurs n’ont pas de point d’attache, on peut les déplacer partout dans le plan. Cependant, à tout couple de points M, N du plan, on peut associer un vecteur noté − − ! MN de composantes (xN −xM, yN −yM). Réciproquement, étant donné un vecteur ~ u(a, b), et un point M(xM, yM), on peut toujours construire un point N tel que ~ u = − − ! MN : il suﬃt de prendre N(xM + a, yM + b). (b) Repères cartésiens Deux vecteurs particuliers sont très importants, en général notés ~ ı et ~ | : ~ ı = (0, 1) , ~ | = (1, 0) . A l’aide d’une origine O, ces deux vecteurs constituent un repère (0,~ ı,~ |). A l’aide de ce repère, on peut décomposer n’importe quel vecteur comme une combinaison de ~ ı et ~ |, et également déﬁnir les coordonnées de n’importe quel point M : ~ u = (a, b) et M(x, y), signiﬁent respectivement ~ u = a~ ı + b~ |, − − ! OM = x~ ı + y~ | . Par exemple, si M(2, 3) et ~ u = − − ! OM, alors ~ u = (2, 3) = (2, 0) + (0, 3) = 2(1, 0) + 3(0, 1) = 2~ ı + 3~ | . Il faut bien comprendre qu’en décomposant tout vecteur sur la base (~ ı,~ |), nous faisons un choix : de particulariser cette base pour référence. Mais nous pourrions tout à fait prendre une autre base de vecteur, et construire un repère diﬀérent. Cette opération (changement de base) sera abordée plus tard. Avoir un repère permet d’utiliser les coordonnées des points pour faire des calculs en lien avec les ﬁgures géométriques du plan. On appelle cette branche des mathématique la géométrie analytique. Dans la suite, nous allons passer en revue les principales ﬁgures géométriques qui nous intéressent ici, ainsi que les équations qui les caractérisent. (b) Droites du plan L’habitude est d’écrire les droites du plan sous la forme y = ax + b, où a (le coeﬃcient directeur) et b (l’ordonnée à l’origine) sont deux paramètres réels. Mais cette écriture à l’inconvénient de laisser de coté les droites verticales, qui s’écrivent sous la forme x = x0. Une déﬁnition plus générale de droite est donc la suivante. Déﬁnition – une droite du plan est un ensemble de points M(x, y) dont les coordonées vériﬁent une équation de la forme ax + by + c = 0 , (a, b, c) étant uploads/Ingenierie_Lourd/ l1ecos2-notes.pdf