EXTRAIT D’ANNALES DES ÉPREUVES DE MATHÉMATIQUES AU BACCALAURÉAT DU TCHAD SÉRIE

EXTRAIT D’ANNALES DES ÉPREUVES DE MATHÉMATIQUES AU BACCALAURÉAT DU TCHAD SÉRIE C & E DE 1989 - 2022 Mathématiques au Bac Tchad Série C & E 2017 Énoncé Exercice 1 Le plan est rapporté à un repère orthonormal  O, − → u , − → v  . On considère les points A, B et C d’affixes respectives zA = 2 + i, zB = −4 + 3 i et zC = −2 −i. 1. Donner la forme algébrique et la forme exponentielle du nombre complexe zB −zC zA −zC . En déduire la nature du triangle CAB. 2. On considère la rotation r de centre C et d’angle π 2 . Justifier que son expression complexe est : z′ = iz + i −3. 3. On appelle s la symétrie centrale dont le centre est le milieu D de [AB]. Prouver que l’expression complexe de s est z′ = −z −2 + 4 i. 4. On s’intéresse maintenant à la transformation géométrique f = r ◦s, composée de s et de r. a) Quelle est l’image de B par f ? b) Déterminer l’expression complexe de f. c) Quelle est la nature de f ? Donner ses éléments caractéristiques. Exercice 2 Dans l’espace muni d’un repère orthonormal  O, − → ı , − → , − → k  , on donne les trois points : A      1 2 −1     , B      −3 −2 3     et C      0 −2 −3      1. a) Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. Rejoignez-nous sur https://tchadeducation.com 1 b) Démontrer que le vecteur − → n      2 −1 1     est un vecteur normal au plan (ABC). 2. Soit (P) le plan dont une équation cartésienne est x + y −z + 2 = 0. Démontrer que les plans (ABC) et (P) sont perpendiculaires. 3. On appelle G le barycentre des points pondérés (A, 1), (B, −1) et (C, 2). a) Démontrer que le point G a pour coordonnées      2 0 −5     . b) Démontrer que la droite (CG) est orthogonale au plan (P). c) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CG). d) Déterminer les coordonnées du point H, intersection du plan (P) avec la droite (CG). 4. Démontrer que l’ensemble (S) des points M de l’espace tels que − − → MA −− − → MB + 2− − → MC = 12 est une sphère dont on déterminera les éléments caractéristiques. Problème Les parties A et B sont indépendantes Partie A Soit f la fonction définie par : f :      f(0) = 0 f(x) = x ln x x + 1, x > 0 . 1. Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0. 2. Soit ϕ la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par ϕ(x) = ln x + x + 1. a) Étudier les variations de ϕ. b) Démontrer que l’équation ϕ(x) = 0 admet une solution unique α telle que 0, 27 ⩽α ⩽0, 28. c) Exprimer f ′(x) en fonction de ϕ(x). En déduire les variations de f. Vérifier que f(α) = −α. 3. Tracer la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormé  O, − → ı , − →   . Partie B Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par g(x) = e 1 2x . 1. Étudier le sens de variation de g. Rejoignez-nous sur https://tchadeducation.com 2 2. Démontrer que l’équation g(x) = x admet une solution unique β > 0 telle que 5 4 ⩽β ⩽3 2. 3. a) Prouver que pour tout x de I = 5 4 ; 3 2  , g(x) appartient aussi à I. b) Démontrer que pour tout x de I, g′(x) ⩽1 2. En déduire que pour tout x de I, |g(x) −β| ⩽1 2|x −β|. 4. On considère la suite (un) d’éléments de I définie par : u0 = 5 4 et pour tout entier naturel n, un+1 = g (un) . a) Démontrer que pour tout entier naturel n, |un+1 −β| ⩽1 2 |un −β| . En déduire que pour tout entier naturel n, |un+1 −β| ⩽ 1 2n+2 . b) Déterminer un entier naturel n tel que un soit une valeur approchée de β à 10−3 près. Calculer alors cette valeur approchée. 5. Soit la suite (vn) définie par : vn = 1 + ln x x  + ln x x 2 + · · · + ln x x n tel que x ⩾1 Étudier la convergence de la suite (vn). Rejoignez-nous sur https://tchadeducation.com 3 uploads/Ingenierie_Lourd/ epreuve-8.pdf

Tags
Ingénierie démontrer points définie complexe déduire
Documents similaires
  • 39
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager