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Lycée Alboury Ndiaye Année scolaire : 2006 / 2007 Linguère Classe : TS 1 Mr Bar

Lycée Alboury Ndiaye Année scolaire : 2006 / 2007 Linguère Classe : TS 1 Mr Barry Durée : 4 heures 2e devoir du second semestre (Mathématiques) Exercice I : (6 pts) Dans le plan orienté (P ), on donne deux points distincts 1 O et 2 O et on désigne par 1 r la rotation de centre 1 O et d’ angle 3  et par 2 r la rotation de centre 2 O et d’angle 2 3 . Pour tout point M de (P ), on note 1 M l’image de M par 1 r et 2 M l’image de 1 M par 2 r . 1. a) Démontrer que le milieu J du segment   1 2 M M est un point fixe pour 2 1 r or . b) Construire soigneusement J et prouver que J est situé sur le cercle de diamètre  1 2 O O . (On prendra 1 2 10 OO cm  ) 2. Soit H le projeté orthogonal de 1 O sur la droite   1 2 M M . a) Préciser les éléments caractéristiques de la similitude directe S de centre 1 O qui transforme H en M. b) Démontrer que M, 1 M , 2 M sont alignés si et seulement si H est situé sur le cercle de diamètre   1 O J . c) En déduire l’ensemble (C ) des points M du plan (P ) pour lesquels M, 1 M , 2 M sont alignés. 3. a) Exprimer 1 M M en fonction de 1 1 O M puis 1 2 M M en fonction de 2 1 O M . b) Où se situe 1 M lorsque l’on a l’égalité 1 2 1 3 M M M M  ? c) Trouver   l’ensemble des points M du plan (P ) tels que 1 2 1 3 M M M M  . Exercice II : (3 pts) Soit le cube ABCD EFGH représenté par la figure ci –dessus. L’espace est muni du repère orthonormé direct , , , A AB AD AE           On désigne par I le milieu de   EF et par K le centre du carré ADHE. 1. a) Vérifier que BK IG IA         . F D G H E A B C b) Déduisez – en l’aire du triangle IGA. 2. Calculer le volume du tétraèdre ABIG et déduisez – en la distance du point B au plan AIG. Problème (11 pts) Soit p un entier naturel tel que 2 p  et 1 2 , ,........, p a a a une famille de p nombres réels tels que : 1 2 0 ........ p a a a     . PARTIE A Etant donné n un entier naturel tel que n n a  , on considère l’équation d’inconnue réelle x :  1 2 : ....... x x x x n E a a a n     . 1. Pour k entier, 1 k p   , on considère la fonction :  : k k x a n g IR IR x     Etudier ses variation sur l’intervalle   0, et étudier sa limite en . 2. Soit n f la somme des fonctions k g pour k compris entre 1 et p. Préciser le sens de variations de n f ainsi que sa limite en . 3. En déduire que l’équation (E ) admet une solution et une seule dans IR. PARTIE B Pour chaque p n a  , on note n x la solution de l’équation (E ). On définit ainsi une suite   n n r x , où r est le plus petit entier strictement supérieur à p a . 1. Montrer que, pour tout entier n r  et tout réel 0 x  , 1( ) ( ) n n f x f x   . En déduire que la suite   n n r x est décroissante. 2. Soit c un réel strictement positif quelconque. Montrer que, pour chacun des entiers k, 1 k p   , la suite  k c a n n         est convergente. Quelle en est la limite ? 3. Déduire de la question précédente que la suite ( ) n n f c       est convergente. Quelle en est la limite ? 4. Montrer qu’il existe un entier m tel que 0 ( ) 1 n f c  . En déduire que, pour tout n m  , n x c  . 5. Déduire de ce qui précède que la suite   n n r x  admet 0 pour limite. 6. Montrer que la suite   ln n n r x n  admet lnp pour limite. BAREME : Exercice I : 1: a) 1pt, b) 1.25pt 2: a) 1pt, b) 1pt, c) 0.5pt 3: a) 0.5pt, b) 0.5pt, c) 0.25pt. Exercice II : 1: a) 1pt, b) 0.5pt 2 : (1+0.5)pt Problème : Partie A : 1. 1.5pt 2. 1.5pt 3. 0.5pt Partie B : 1. 2pts 2. 1pt 3. 1pt 4. (0.5+1)pt 5. 1pt 6. 1pt uploads/Ingenierie_Lourd/ 2-devoir-ts1.pdf