Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Recueil d’annales en Mathématiques Terminale S – Enseignement obligatoire Proba

Recueil d’annales en Mathématiques Terminale S – Enseignement obligatoire Probabilités Frédéric Demoulin1 Dernière révision : 10 avril 2008 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini2 1frederic.demoulin (chez) voila.fr 2gilles.costantini (chez) bacamaths.net Annales Terminale S Probabilités Tableau récapitulatif des exercices ⋆indique que cette notion a été abordée dans l’exercice N° Lieu Année ROC QCM PB(A) Variables Loi bino- Loi uni- Loi expo- Géomé- Suites VF Indép. aléatoires miale forme nentielle trie 1 Nouvelle-Calédonie Mars 2008 ⋆ ⋆ ⋆ 2 Nouvelle-Calédonie Déc 2007 ⋆ ⋆ ⋆ 3 Antilles-Guyane Sept 2007 ⋆ ⋆ 4 Polynésie Sept 2007 ⋆ ⋆ 5 Amérique du Nord Juin 2007 ⋆ ⋆ ⋆ 6 Liban Juin 2007 ⋆ ⋆ 7 Polynésie Juin 2007 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 8 Inde Avril 2007 ⋆ ⋆ 9 Nouvelle-Calédonie Mars 2007 ⋆ ⋆ ⋆ 10 Amérique du Sud Nov 2006 ⋆ ⋆ ⋆ 11 Nouvelle-Calédonie Nov 2006 ⋆ 12 France Sept 2006 ⋆ ⋆ 13 Polynésie Sept 2006 ⋆ ⋆ 14 Antilles-Guyane Juin 2006 ⋆ ⋆ ⋆ 15 Asie Juin 2006 ⋆ ⋆ 16 Centres étrangers Juin 2006 ⋆ ⋆ ⋆ 17 France Juin 2006 ⋆ 18 La Réunion Juin 2006 ⋆ ⋆ 19 Liban Juin 2006 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 20 Polynésie Juin 2006 ⋆ ⋆ 21 Amérique du Nord Mai 2006 ⋆ ⋆ 22 Amérique du Nord Juin 2005 ⋆ ⋆ 23 Antilles-Guyane Juin 2005 ⋆ ⋆ 24 Asie Juin 2005 ⋆ ⋆ ⋆ 25 France Juin 2005 ⋆ ⋆ 26 La Réunion Juin 2005 ⋆ 27 Liban Juin 2005 ⋆ ⋆ 28 Polynésie Juin 2005 ⋆ ⋆ 29 Nouvelle-Calédonie Mars 2005 ⋆ ⋆ 30 Amérique du Sud Nov 2004 ⋆ 31 France Sept 2004 ⋆ 32 Polynésie Sept 2004 ⋆ ⋆ ⋆ 33 Amérique du Nord Juin 2004 ⋆ ⋆ 34 Centres étrangers Juin 2004 ⋆ ⋆ 35 France Juin 2004 ⋆ 36 La Réunion Juin 2004 ⋆ ⋆ ⋆ 37 Liban Juin 2004 ⋆ ⋆ ⋆ 38 Polynésie Juin 2004 ⋆ ⋆ ⋆ 39 Inde Avril 2004 ⋆ ⋆ ⋆ 40 Amérique du Sud Nov 2003 ⋆ 41 Nouvelle-Calédonie Nov 2003 ⋆ ⋆ ⋆ 42 Antilles-Guyane Sept 2003 ⋆ ⋆ 43 France Sept 2003 ⋆ ⋆ ⋆ 44 Amérique du Nord Juin 2003 ⋆ ⋆ ⋆ 45 Antilles-Guyane Juin 2003 ⋆ ⋆ ⋆ 46 Centres étrangers Juin 2003 ⋆ ⋆ ⋆ 47 La Réunion Juin 2003 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 48 Liban Juin 2003 ⋆ 49 Polynésie Juin 2003 ⋆ ⋆ 50 Nouvelle-Calédonie Mars 2003 ⋆ ⋆ ⋆ 51 Amérique du Sud Nov 2002 ⋆ 52 Antilles-Guyane Sept 2002 ⋆ ⋆ 53 France Sept 2002 ⋆ Frédéric Demoulin Page 1 Annales Terminale S Probabilités Exercice 1 Nouvelle – Calédonie, Mars 2008 (5 points) Deux éleveurs produisent une race de poissons d’ornement qui ne prennent leur couleur déﬁnitive qu’à l’âge de trois mois : – pour les alevins du premier élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de trois mois, 10 % n’ont pas survécu, 75 % deviennent rouges et les 15 % restant deviennent gris ; – pour les alevins du deuxième élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de trois mois, 5 % n’ont pas survécu, 65 % deviennent rouges et les 30 % restant deviennent gris. Une animalerie achète les alevins à l’âge de deux mois : 60 % au premier éleveur, 40 % au second. 1. Un enfant achète un poisson le lendemain de son arrivée à l’animalerie, c’est-à-dire à l’âge de deux mois. a. Montrer que la probabilité que le poisson soit toujours vivant un mois plus tard est de 0,92. b. Déterminer la probabilité qu’un mois plus tard le poisson soit rouge. c. Sachant que le poisson est gris à l’âge de trois mois, quelle est la probabilité qu’il provienne du premier élevage ? 2. Une personne choisit au hasard et de façon indépendante 5 alevins de deux mois. Quelle est la probabilité qu’un mois plus tard, seulement trois soient en vie ? On donnera une valeur approchée à 10−2 près. 3. L’animalerie décide de garder les alevins jusqu’à l’âge de trois mois, aﬁn qu’ils soient vendus avec leur cou- leur déﬁnitive. Elle gagne 1 euro si le poisson est rouge, 0,25 euro s’il est gris et perd 0,10 euro s’il ne survit pas. Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique de l’animalerie par poisson acheté. Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique, arrondie au centime. Exercice 2 Nouvelle – Calédonie, Décembre 2007 (5 points) Un responsable de magasin achète des composants électroniques auprès de deux fournisseurs dans les propor- tions suivantes : 25 % au premier fournisseur et 75 % au second. La proportion de composants défectueux est de 3 % chez le premier fournisseur et de 2 % chez le second. On note : – D l’événement « le composant est défectueux » ; – F1 l’événement « le composant provient du premier fournisseur » ; – F2 l’événement « le composant provient du second fournisseur ». 1. a. Dessiner un arbre pondéré. b. Calculer p (D ∩F1), puis démontrer que p(D) = 0,022 5. c. Sachant qu’un composant est défectueux, quelle est la probabilité qu’il provienne du premier fournis- seur ? Dans toute la suite de l’exercice, on donnera une valeur approchée des résultats à 10−3 près. 2. Le responsable commande 20 composants. Quelle est la probabilité qu’au moins deux d’entre eux soient défectueux ? 3. La durée de vie de l’un de ces composants est une variable aléatoire notée X qui suit une loi de durée de vie sans vieillissement ou loi exponentielle de paramètre λ, avec λ réel strictement positif. a. Sachant que p(X > 5) = 0,325, déterminer λ. Pour les questions suivantes, on prendra λ = 0,225. b. Quelle est la probabilité qu’un composant dure moins de 8 ans ? plus de 8 ans ? c. Quelle est la probabilité qu’un composant dure plus de 8 ans sachant qu’il a déjà duré plus de 3 ans ? Frédéric Demoulin Page 2 Annales Terminale S Probabilités Exercice 3 Antilles – Guyane, Septembre 2007 (6 points) Les trois parties de cet exercice sont indépendantes. Une urne contient 15 boules identiques indiscernables au toucher de couleur noire, blanche ou rouge. On sait de plus qu’il y a au moins deux boules de chaque couleur dans l’urne. On tire au hasard simultanément deux boules dans l’urne et on note leur couleur. Soit l’événement G : « obtenir deux boules de même couleur ». Partie A On suppose que l’urne contient 3 boules noires et 7 boules blanches. Calculer la probabilité de l’événement G. Partie B On note n, b et r le nombre de boules respectivement noires, blanches et rouges ﬁgurant dans l’urne. 1. On note g(n, b, r) la probabilité en fonction de n, b et r de l’événement G. Démontrer que g(n, b, r) = 1 210[n(n −1)+b(b −1)+r(r −1)]. 2. Le but de cette question est de déterminer n, b et r aﬁn que la probabilité g(n, b, r) soit minimale. L’espace est muni d’un repère ³ O ; − → ı ,− → ,− → k ´ orthonormal. Soient les points N, B et R de coordonnées respectives (15 ; 0 ; 0), (0 ; 15 ; 0) et (0 ; 0 ; 15) et soit M le point de coordonnées (n, b, r). On pourra se rapporter à la ﬁgure ci-dessous. a. Justiﬁer qu’une équation cartésienne du plan (NBR) est x + y + z −15 = 0. b. En déduire que le point M est un point du plan (NBR). c. Démontrer que g(n, b, r) = 1 210 ¡ OM2 −15 ¢ . d. Soit H le projeté orthogonal du point O sur le plan (NBR). Déterminer les coordonnées du point H. e. En déduire tes valeurs de n, b et r aﬁn que la probabilité g(n, b, r) soit minimale. Justiﬁer que cette probabilité minimale est égale à 2 7. Partie C On suppose que les nombres de boules de chaque couleur ont été choisis par l’organisateur d’un jeu, de telle sorte que la probabilité de l’événement G soit 2 7. Un joueur mise x euros, avec x entier naturel non nul, puis tire simultanément au hasard deux boules de l’urne. Dans tous les cas, il perd sa mise de départ. S’il obtient deux boules de la même couleur, il reçoit k fois le montant de sa mise, avec k nombre décimal stricte- ment supérieur à 1. Sinon, il ne reçoit rien. On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. 1. Calculer l’espérance E(X ) de la variable X en fonction de x et de k. 2. Déterminer la valeur de k pour laquelle le jeu est équitable. Frédéric Demoulin Page 3 Annales Terminale S Probabilités x y z N R B O − → ı − →  − → k Exercice 4 Polynésie, Septembre 2007 (4 points) La végétation d’un pays imaginaire est composée initialement de trois types de plantes : 40 % sont de uploads/Ingenierie_Lourd/ exo-proba.pdf