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MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE SECRETARI

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE SECRETARIAT GENERAL DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR PUBLIC et PRIVE Service d’Appui au Baccalauréat BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL S E S S I O N 2 0 1 4  Options : C Code matière : 009 Epreuve de : MATHEMATIQUES Durée : 4 heures Coefficient : 5 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - NB : L’utilisation d’une calculatrice scientifique non programmable est autorisée. L’exercice et les deux problèmes sont obligatoires. EXERCICE (4 points) Partie A Dans un concours de tir, la cible circulaire se divise en trois zones: A, B et C. Chaque tir atteint nécessairement l’une des trois zones A, B, et C. PA, PB et PC sont respectivement les probabilités d’atteindre les zones A, B et C. Sachant que PC = 1 6 et PA , PB et PC forment, dans cet ordre, une progression arithmétique. 1°) Calculer PA et PB . (0,5pt) 2°) On effectue quatre tirs d’une manière indépendante. Calculer la probabilité d’atteindre au moins une fois la zone C. (0,5pt) 3°) Un joueur tire jusqu’à ce que la zone C soit atteinte. Calculer la probabilité de l’évènement E:« Le jeu s’arrête au 3ème tir ». (0,5pt) 4°) Soit n*, et Pn la probabilité pour que le jeu s’arrête au nième tir. Ecrire Pn en fonction de n. Calculer lim nPn . (0,5pt) Partie B 1- Soit x et y deux entiers naturels. Démontrer que : ( x + 6y )2 – x2 est divisible par 12 et que ( x + 6y )4 – x4 est divisible par 24.(1pt) 2- Résoudre dans : 3x 2 [ mod 7 ]. (0,5pt) 3- Déterminer la base b du système de numération dans lequel :      12 22 314 b b b   . (0,5pt) /… PROBLEME1 (7 points) Les parties I et II sont indépendantes. On considère un triangle quelconque AOB. AOE est un triangle direct isocèle et rectangle en E BAC est un triangle direct isocèle et rectangle en C OBD est un triangle direct isocèle et rectangle en D On se propose de démontrer que les droites (OC) et (ED) sont perpendiculaires et que OC = ED. PARTIE I : Méthode 1 : Utilisation des transformations. On note :  S1 la similitude plane directe de centre A qui transforme C en B.  S2 la similitude plane directe de centre O qui transforme B en D.  f = S2 o S1. 1-a) Déterminer le rapport et l’angle de chacun des transformations S1 et S2 . (1pt) b) Prouver que f est une rotation dont on précisera l’angle. (0,5pt) 2- Déterminer l’image de I par S1 et celle de E par S2. (0,5pt) En déduire que I est invariant par f. (0,25pt) 3-On appelle R la rotation de centre I et d’angle θ= 2 . a) Déterminer R(O) et R(C) (0,75pt) b) En déduire que (OC) et (ED) sont perpendiculaires et que OC = ED. (0,5pt) PARTIE II : Méthode 2 : Utilisation des nombres complexes. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O;u  ; v  ) avec u  = OI   . On note b l’affixe de B . 1) Calculer en fonction de b l’affixe de C et l’affixe de D. (1pt) 2) Calculer l’affixe ZE de E. (0,5pt) 3-a) Démontrer que D E C O z - z z - z i . (1pt) b) En déduire que (OC) et (ED) sont perpendiculaires et que OC = ED. (1pt) /… PROBLEME2 ( 9 points ) On considère la fonction numérique f définie sur par: (1 ) 1 ( ) 2 1 ln 1 1 x x e si x f x x x si x x          On désigne par (C) sa courbe représentative dans un plan muni d’un repère orthonormé (O ; ; i j     ) d’unité 1cm. Partie I 1-Prouver que f est continue en x0= 1. (0,5pt) 2- a) Vérifier que pour tout x>1: ( ) (1) ln ln( 1) ln 2 1 1 1 1 f x f x x x x x         (0,25pt) Démontrer que f est dérivable à droite en 1 et que 3 (1) 2 d f   . (0,25pt) b) Etudier la dérivabilité à gauche de f en xo=1. (0,25pt) 3- Calculer lim lim ( ) ( ) x x f x et f x   . (0,5pt) 4- a) Etudier le sens de variation de f sur son domaine de définition. (1pt) b) Dresser le tableau de variation de f. (0,5pt) 5- On pose ( ) x  = f ( x ) – x + 1 – ln2. Calculer lim ( ) x x   . Que signifie ce résultat pour la courbe ( C )? (0,75pt) 6- Tracer les demi-tangentes au point d’abscisse 0 1 x  , l’asymptote et la courbe ( C ) (1pt) Partie II 1-On considère l’équation différentielle (E): y’ – y = ( - 2x + 1) ex Soit g une solution de (E), démontrer que toute fonction φ définie par φ(x)= e-xg(x) vérifie φ’(x)= - 2x + 1. En déduire la solution de ( E ) qui prend la valeur 1 en x=0. (1,25pts) 2- Résoudre dans [ 0 ; 2] l’équation 3 cos sin 2 0 x x    (0,5pt) 3- Soit la suite numérique   * n n I définie par:   1 0 1 1 ! n x n I x e dx n    a) Calculer 1 I . Interpréter géométriquement ce résultat. (0,5pt) b) Trouver une relation de récurrence entre 1 In et In. En déduire que pour tout * n: 1 1 1 ! n k e k In    . (1pt) c) Démontrer que pour tout * n: 1 ( 1)! ( 1)! e n n In     . (0,5pt) En déduire 1 1 lim ! n k n k          . (0,25pt) On donne: 3 2 1 0,05 ; 0,14 ; 0,37 ; e e e       ln 2 0,7  et ln3 1,1  * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * uploads/Ingenierie_Lourd/ c-mathematiques.pdf