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1 Les opérations de symétrie La matière cristallisée présente dans sa structure

1 Les opérations de symétrie La matière cristallisée présente dans sa structure et dans toutes ses propriétés des caractères de symétrie. Le degré de symétrie réalisé par les cristaux sert à leur classement en type cristallographique. D’où l’importance capitale, de l’étude de la symétrie. III.1- La symétrie d’orientation (ponctuelle) La symétrie ponctuelle désigne l'ensemble des applications linéaires qui laissent invariant un objet de dimension finie. Les éléments de symétrie d'un objet passent tous par son centre et ont donc au moins un point en commun, le centre de l'objet, d'où le nom de « symétrie ponctuelle ». Les opérations de translation ne font pas partie des opérations de symétrie ponctuelle. En cristallographie, la symétrie ponctuelle d'un cristal doit aussi laisser le réseau invariant : on ne considère que les isométries, qui conservent les longueurs. D'autre part, seul un petit nombre d'opérations de symétrie est compatible avec les translations de réseau : c'est le « théorème de restriction cristallographique ». III.1.1-Les opérations de symétrie 1- La rotation Une rotation d'angle θ= 2π /x ( x est un nombre entier) est une opération qui associe à tout point P de l'espace un point image P' qui est tourné de l'angle θ par rapport à l'axe de la rotation. L'angle de la rotation est exprimé en degrés. La rotation s'effectue dans le sens trigonométrique autour de l'axe et dans le plan contenant le point P et perpendiculaire à l'axe. Les points fixes d'une rotation constituent l'axe de la rotation. La rotation est une isométrie : elle conserve les distances. En particulier, la distance du point P à l'axe de rotation est la même que la distance de son image P' à l'axe. Pour une rotation 2π /x, x prend les valeurs : 1, 2, 3,4 et 6 a- Axe binaire (angle de rotation : 2π /2)  axe 2 //oz Fig.III-1 : Représentation graphique d’un axe binaire 2  Axe 2 //oy x’ -1 0 0 x y’ = 0 1 0 y z’ 0 0 -1 z  Axe 2 //ox x’ 1 0 0 x y’ = 0 -1 0 y z’ 0 0 -1 z b- Axe ternaire 3//Oz : 3⇒Rotation de 2π/3 = 120° Fig.III-2 : Représentation graphique d’un axe ternaire x’= -ycos 30 – xsin30 y’=xcos30 –ysin 30 z’=z ⇒ x’= -√͵ /2 y – 1/2 x y’= √͵ /2 x –1/2 y z’=z ݔ′ ݕ′ ݖ′ = −ͳ ʹ ⁄ −√͵ ʹ ⁄ Ͳ √͵ ʹ ⁄ −ͳ ʹ ⁄ Ͳ Ͳ Ͳ ͳ ݔ ݕ ݖ 3 c- Axe quaternaire 4//Ox : 4⇒Rotation de 2π/4 = 90° Fig.III-3 : Représentation graphique d’un axe quaternaire x’=x y’= - z ⇒ z’ = y ݔ′ ݕ′ ݖ′ = ͳ Ͳ Ͳ Ͳ Ͳ −ͳ Ͳ ͳ Ͳ ݔ ݕ ݖ d- Axe sénaire 6 //Oy : 6⇒Rotation de 2π/6 = 60° Fig.III-4 : Représentation graphique d’un axe sénaire 4 x’= z cos 30 + xsin30 y’=y z’= - xcos30 + z sin 30 ⇒ x’= 1/2 x + √͵ /2 z y’= y z’=-√͵ /2x + 1/2 z ࢞′ ࢟′ ࢠ′ = ͳ ʹ ⁄ Ͳ √͵ ʹ ⁄ Ͳ ͳ � −√͵ ʹ ⁄ � ͳ ʹ ⁄ ࢞ ࢟ ࢠ Remarque : on appelle les points engendrés par les éléments de symétrie : points équivalents. La représentation graphique et symboles des axes de rotation sont représentés dans le tableau 1. Tableau III. 1 : Représentation graphique et symboles n = 360/θ 1 2 3 4 6 Rotations 1 2 3 4 6 Roto-inversions Remarque : Quand l’axe 2 est dans le plan de dessin on le représente par ou ● ● 2- La réflexion (ou miroir) Une figure possède cette symétrie si une moitié de la figure est l’image de l’autre dans un miroir ou plan de symétrie. 5 Symbole de l’élément de symétrie est m. Représentation graphique Pour un m ⊥au plan de dessin Pour un miroir dans le plan de dessin Fig.III-5 : Représentation graphique d’un miroir // (xoy) x’ 1 0 0 x y’ = 0 1 0 y z’ 0 0 -1 z La même remarque que l’axe binaire, le miroir est positif par rapport au plan de projection seulement. Donc pour m // (xoz) on obtient : x’ 1 0 0 x y’ = 0 -1 0 y z’ 0 0 1 z Et pour m // (yoz) on obtient : x’ -1 0 0 x y’ = 0 1 0 y z’ 0 0 1 z 3- L’inversion 6 La symétrie d’inversion se fait par rapport à un point, appelé centre d’inversion ou de symétrie. La figure qui possède cet élément de symétrie est dite centrosymétrique. Symbole : C Représentation graphique : ○ Fig.III-6 : Représentation graphique d’une image centrosymétrique x’ - 1 0 0 x y’ = 0 -1 0 y z’ 0 0 -1 z 4- La roto-inversion : La roto-inversion est une rotation de 2π /x suivie d’une inversion par rapport à un centre situé sur l’axe de rotation. L’élément de symétrie est appelé axe d’inversion, noté� ̅. Exemple : ʹ ̅ Fig.III-7 : Représentation graphique d’une roto-inversion � ̅ 7 x’ 1 0 0 x y’ = 0 1 0 y z’ 0 0 -1 z Cette opération est équivalente à un miroir // (xoy). La représentation graphique et symboles des axes de roto-inversion sont donnés dans le tableau 1. 5- La réflexion rotatoire C’est une rotation de 2π/x suivie d’une réflexion dans un plan perpendiculaire à l’axe. L’élément de symétrie est un axe de réflexion. Symbole: X’ : 1’, 2’, 3’, 4’, 6’ Exemple : axe 2’ Fig.III-8 : Représentation graphique d’un axe 2’ III.2 -Représentation de la symétrie (Projection stéréographique) Principe La Projection stéréographique permet de représenter sur un plan l’effet d’une opération de symétrie isolée ou d’une succession d’opérations. La figure suivante montre le principe de cette projection. Pour un point qui se trouve dans l’hémisphère nord on le relie avec le pôle sud et le point d’intersection avec le plan latérale est noté « x », inversement un point dans l’hémisphère sud est relié au pôle nord et le point d’intersection avec le plan latérale est noté « o ». 8 Fig.III-9 : Principe de la projection stéréographique La figure suivante donne les projections stéréographiques d’ensemble de points équivalents liés par des opérations de symétrie. Fig.III-10 : Représentation graphique de la projection stéréographique de la rotation et la roto-inversion III .3- Association des opérations de symétrie Un cristal peut avoir plusieurs opérations de symétrie. On utilise les symboles de la notation internationale d’Hermann-Maugin. III.3.1- Association d’un miroir et un axe normal au plan du miroir « X/m » 9 L’association d’un miroir et un axe normal au plan du miroir, notée X/m entraine un centre d’inversion à leur intersection. III.3.2- Association d’un axe direct X et un miroir au même plan « Xm » Pour un groupe de symétrie Xm, si X est pair on obtient Xmm et si X est impair on trouve Xm . III.3.3- Association d’un axe directe X et d’un axe direct binaire orthogonal « X2 » Pour un groupe de symétrie X2, si X est pair on obtient X22 et si X est impair on trouve X2. III.4- Groupes ponctuels a- Définition L’ensemble des opérations de symétrie d’une figure finie forment un groupe au sens mathématique du terme, dit groupe de symétrie d’orientation. Les groupes ponctuels compatibles avec un réseau cristallin, obéissent à des lois très strictes (des théorèmes), sont formés des opérations directes (axes d’ordre X) et inverses� ̅. En dénombrant les associations possibles entre ces opérations, on aboutit aux 32 groupes ponctuels cristallographiques ou 32 classes de symétrie. Le tableau 2 présente le classement des groupes ponctuels en système. Parmi les 32 groupes ponctuels, 11 sont centro- symétriques, on les appelle groupes de Laue. 10 Tableau III.2 : Les 32 groupes ponctuels Système définition Classes cristallines Triclinique Monoclinique Orthorhombique Rhomboédrique Quadratique Hexagonale Cubique Classe 1 ou -1 une seule direction binaire 2 ou -2≡m 3 directions binaires perpendiculaires une seule direction ternaire 3 ou -3 une seule direction quaternaire 4 ou -4 une direction sénaire 6 ou -6 4 directions ternaires 3 ou -3 1, -1* 2, m, 2/m* 222, mm2, mmm* 3, -3*, 32, 3m, -3m* 4, -4, 4/m*, 4mm, 422, -42m , 4/mmm* 6, -6 , 6/m* , 6mm , 622, -62m, 6/mmm* 23, m3*, 432, -43m, m͵ ̅m* b- Les principaux théorèmes de la symétrie ponctuelle 1- Tous les éléments de symétrie d’une figure finie se coupent au moins en un point, d’ou le nom de groupe ponctuel.(voir 2/m) 2- Si un axe d’ordre pair est perpendiculaire à un plan de symétrie, l’intersection est un centre de symétrie. (voir 2/m, 4/m) 3- Si une figure n’a qu’un axe de symétrie, tout plan de symétrie doit passer par l’axe ou lui être perpendiculaire. (voir 2m ou 2/m) 4- Lorsqu’un axe d’ordre X est dans un plan de symétrie, il existe X plans de symétrie formant entre eux des angles de π/X. (voir 3m) uploads/Ingenierie_Lourd/ groupes-despaces.pdf