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Algèbre 1 ALG1L1S102 ENSEMBLES ET APPLICATIONS ATIAMPO KODJO ARMAND @ UVCI 2019

Algèbre 1 ALG1L1S102 ENSEMBLES ET APPLICATIONS ATIAMPO KODJO ARMAND @ UVCI 2019 1.5 Table des matières Objectifs...........................................................................................................................................5 Introduction......................................................................................................................................7 I - Ensembles...................................................................................................................................9 A. Introduction à la notion d'ensemble.......................................................................................9 B. Opérations sur les ensembles...............................................................................................10 C. Couples, Produit cartésien...................................................................................................11 D. Exercice 1...........................................................................................................................12 E. Exercice 2...........................................................................................................................12 II - Relations..................................................................................................................................13 A. Relations et applications......................................................................................................13 B. Exercice..............................................................................................................................15 C. Images et antécédents..........................................................................................................16 D. Exercice 1...........................................................................................................................16 E. Exercice 2...........................................................................................................................16 F. Restriction, prolongement, composition..............................................................................16 G. Injections, surjections et bijections.....................................................................................17 H. Exercice...............................................................................................................................19 I. Cardinalité.............................................................................................................................19 J. Exercice...............................................................................................................................20 III - Ensembles ordonnés...............................................................................................................21 A. Relations d'ordre..................................................................................................................21 B. Exercice 1............................................................................................................................23 C. Exercice 2............................................................................................................................23 Conclusion.....................................................................................................................................25 3 4 Objectifs À la fin de cette leçon, vous serez capable de :  Savoir Identifier ce qu'est un ensemble en mathématique  Savoir appliquer les opérations de base sur les ensembles ;  Savoir identifier les relations entre 2 ensembles 5 Introduction Dans cette leçon, nous allons préciser le vocabulaire et les notations qui seront utilisés dans tout le cours afin de formaliser la notion intuitive déjà connue d'ensemble mathématique. Nous resterons toujours sur un plan « naif» et utiliserons le langage usuel, afin de décrire les relations entre ensembles. Cette leçon pourra trouver des applications dans des domaines comme la conception de systèmes d'information 7 I - Ensembles I Objectifs A la fin de cette section, l’étudiant sera capable de :  Savoir identifier la notion d'ensemble  Savoir manipuler les opérations de base concernant les ensembles A. Introduction à la notion d'ensemble Pour nous, un ensemble sera simplement une collection d'objets appelés éléments satisfaisant tous une même propriété.. Cette collection n'a pas d'ordre et chaque élément ne peut y apparaître qu'une fois. Nous pouvons citer quelques exemples d'ensembles Finis : l'ensemble des élèves de cette classe, l'ensemble des numéros de lignes de la SOTRA... • Infinis : l'ensemble des entiers naturels ℕ, l'ensemble des entiers relatifs ℤ, l'ensemble des nombres réels ℝ, l'ensemble des nombres pairs, l'ensemble des points du plan .. Défi nition Un ensemble peut être défini de deux manières : • en extension : il s'agit de lister tous ses éléments ; • en compréhension : il s'agit de donner la propriété commune à tous seséléments. Exemple : Exemple 2 L'ensemble A={ 2,3,4 ,5} est dit défini en extension, l' ensemble B={n ∈N | 2≤ n<6} est dit défini en compréhension. Il est évident que A=B Syntaxe La notation a ∈ E se lit ”a est un élément de E“ ou bien ”a appartient à E“. la négation s'écrit a ∉ E. 9 Syntaxe E ⊂ F se lit : E inclus dans F et qui signifie que tout élément de E est aussi élément de F . Sa négation s'écrit E ⊄ F Syntaxe Deux ensembles E et F sont égaux (E = F) s'ils ont les mêmes éléments, c'est- à-dire si l'on a simultanément E⊂ F et F ⊂ E. Pour démontrer une égalité d'ensembles, on prouvera donc en général une double inclusion Fondamental Si E est un ensemble, il existe un ensemble, appelé ensemble des parties de E et noté P(E), dont les éléments sont tous les ensembles inclus dans E. Il vérifie donc, pour tout ensemble F: Exemple Attention Ne pas confondre l'appartenance d'un élément à un ensemble (∈) avec la propriété d'un ensemble d'être sous-ensemble d'un autre (⊆). En effet, un ensemble peut être vu comme étant un élément d'un autre ensemble (par exemple {4, 2} est un élément de {{4, 2}, 3, 7}) mais cela est différent de l'inclusion ({4, 2} n'est pas inclus dans {{4, 2}, 3, 7} car ni 4 ni 2 ne sont des éléments de ce dernier). Fondamental  Il existe un ensemble, appelé ensemble vide et noté ∅, qui ne contient aucun élément. Il est inclus dans tout ensembl B. Opérations sur les ensembles Soient A et B deux parties d'un ensemble E Fondamental : Propriétés 1 On appelle union de A et B et on note A ∪ B l'ensemble contenant les éléments de A et de B : A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}. (zone en couleur bleue) Fondamental : Propriété 2 On appelle intersection de A et B et on note A ∩ B l'ensemble contenant les éléments qui appartiennent à la fois à A et à B: A ∩ B = {x | x ∈ A et x ∈ B}. Ensembles 10 (zone en couleur bleue) Fondamental : Propriété 3 On appelle différence de A et de B, la partie de E définie par : A\B = {x ∈ A |x ∉ B}. (Zone en couleur bleue) Fondamental : Propriété 4 On appelle complémentaire de A dans E, la différence E\A =CE(A)=AC={x ∈ E|x ∉ A}. (Zone en couleur bleue) Fondamental : Proposition Soient A, B et C des parties d'un ensemble E.  Commutativité : A ∪ B = B ∪ A et A ∩ B = B ∩ A.  Associativité : A∪(B ∪C) = (A∪B)∪C et A∩(B ∩C) = (A∩B)∩C.  Distributivité : A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) et A ∩ (B ∪ C) =(A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Fondamental : Propriétés L'union et l'intersection sont deux opérations qui possèdent des propriétés particulières. Ici, la notation “∗” représente l'union ou l'intersection :  idempotence : A ∗ A = A  élément neutre : A ∪ ∅ = A  si l'on se place dans un ensemble E et que A est une partie de E, A ∩ E = A Fondamental : Propriétés La complémentation possède les propriétés suivantes :  A ∩ AC = ∅  A ∪ AC = E  involution : (AC)C = A  lois de De Morgan : 1. (A ∪ B)C = AC ∩ BC 2. (A ∩ B)C = AC ∪ BC C. Couples, Produit cartésien À partir de deux éléments a et b, on peut construire le couple (a, b), avec la propriété fondamentale suivante: (a, b) = (a', b') ⟺ (a = a' et b = b'). Étant donnés deux ensembles A et B, l'ensemble des couples de la forme (a, b), avec a ∈ A et b ∈ B est appelé produit cartésien de A par B et se note A× B.  On a donc : A× B = {(a, b)| a ∈ A et b ∈ B}. Attention  Le produit cartésien n'est pas une opération commutative : A × B ̸= B × A. Ensembles  Les couples (a, b) sont des éléments, pas des ensembles.  De plus, le couple (a, b) est distinct du couple (b, a). Lorsque A = B , le produit cartésien AxB se note AxA ou A2 D. Exercice 1 Exercice Soient A = [1,3] et B = [2,4] Lesquelles des assertions suivantes sont vérifiées ? A ∩ B= [2,3] A ∪B = [1,4] A ∪B =A A ∩ B={ 2, 3} E. Exercice 2 Soient A = [1,3] et B = [2,4]. Écrire l'ensemble produit AxB Ensembles 12 II - Relations II Objectifs A la fin de cette section l’étudiant sera capable de :  Savoir définir une relation entre 2 ensembles  Savoir identifier les différents types d'applications : la surjection, l'injection et la bijection  Savoir compter le nombre d'éléments d'un ensemble Dans cette section, nous allons introduire la notion de relations entre deux ensembles qui va nous permettre de lier des éléments appartenant à deux ensembles distincts. Cela nous permettra d'introduire la notion d'applications qui nous permettra d'obtenir un cadre plus formel pour modéliser la relation entre deux ensembles A. Relations et applications Fondamental : Relation Soient A et B deux ensembles  Un sous-ensemble G du produit cartésien A×B définit une relation binaire entre A et B.  L'ensemble A est alors l'ensemble de départ, l'ensemble B est l'ensemble d'arrivée et le sous-ensemble G de A × B considéré est appelé le graphe de la relation.  On note en général ℜ une relation. Si (x, y) est un couple du graphe, on le note xℜy ou ℜ(x, y), ce qui se lit x est en relation avec y. Exemple : Exemple 1 soit A l'ensemble des gares de la SOTRA. On peut considérer la relation binaire ligneDirect qui est un sous-ensemble de A × A tel que ligneDirect(a1, a2) est vraie si et seulement s'il existe une ligne directe entre la garea1 et la gare a2. Exemple : Exemple 2 soit E l'ensemble des étudiants de cette classe. On peut considérer la relation binaire estVoisinDe qui est un sous-ensemble de E × E tel que estV oisinDe(e1, e2) 13 est vraie si et seulement si l'étudiant e1 est assis à côté de l'étudiant e2. Exemple : Exemple 3 Soit A l ensemble des étudiants de l'UVCi et B l'ensemble des cours proposés. On définit une relation binaire en considerant que aℜb si l’étudiant a participe au cours b Remarque Les relations sont des ensembles et que les opérations que nous avons définies sur les ensembles s'y appliquent. Défi nition Une relation uploads/Ingenierie_Lourd/ lesson-2.pdf