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MÉTHODES ET EXERCICES Mathématiques méthodes et exercices MPSI JEAN-MARIE MONIE

MÉTHODES ET EXERCICES Mathématiques méthodes et exercices MPSI JEAN-MARIE MONIER GUILLAUME HABERER CÉCILE LARDON © Dunod, 2015 ISBN 978-2-10-072780-3 Conception et création de couverture : Atelier 3+ 5 rue Laromiguière, 75005 Paris www.dunod.com Table des matières Pour bien utiliser cet ouvrage iv Remerciements vii 1 Raisonnement, vocabulaire ensembliste 1 2 Calculs algébriques 20 3 Nombres complexes et trigonométrie 37 4 Fonctions d’une variable réelle 54 5 Calcul diﬀérentiel élémentaire 68 6 Fonctions usuelles 85 7 Calculs de primitives 102 8 Équations diﬀérentielles linéaires 122 9 Nombres réels, suites numériques 142 10 Limites, continuité 165 11 Dérivabilité 179 12 Analyse asymptotique 194 13 Arithmétique dans Z 214 14 Structures algébriques usuelles 227 15 Algèbre des polynômes 242 16 Arithmétique des polynômes 257 17 Espaces vectoriels 273 18 Espaces vectoriels de dimension ﬁnie 284 19 Applications linéaires 295 20 Calcul matriciel 310 21 Matrices et applications linéaires 327 22 Déterminants 344 23 Espaces préhilbertiens réels 361 24 Intégration 381 25 Séries 400 26 Dénombrements 420 27 Probabilités sur un univers ﬁni 437 28 Variables aléatoires 456 29 Couples de variables aléatoires 472 30 Informatique 498 Index 531 iii © Dunod. Le photocopie non autorisée est un délit Pour bien utiliser cet ouvrage La page d’entrée de chapitre Elle propose un plan du chapitre, les thèmes abordés dans les exercices, ainsi qu’un rappel des points essen- tiels du cours pour la résolution des exercices. Les méthodes à retenir Cette rubrique constitue une synthèse des principales méthodes à connaître, détaillées étape par étape, et indique les exercices auxquels elles se rap- portent. Chaque méthode est illustrée par un ou deux exemples qui la suivent. iv Énoncés des exercices De nombreux exercices de diﬃculté croissante sont proposés pour s’entraî- ner. La diﬃculté de chaque exercice est indiquée sur une échelle de 1 à 4. Du mal à démarrer ? Des conseils méthodologiques sont proposés pour bien aborder la résolu- tion des exercices. Corrigés des exercices Tous les exercices sont corrigés de fa- çon détaillée. v © Dunod. Le photocopie non autorisée est un délit Remerciements Nous tenons ici à exprimer notre gratitude aux nombreux collègues qui ont accepté de réviser des parties du manuscrit : Marc Albrecht, Bruno Arsac, Jean-Philippe Berne, Jacques Blanc, Gérard Bourgin, Sophie Cohéléach, Carine Courant, Sylvain Delpech, Hermin Durand, Jean Feyler, Viviane Gaggioli, Marguerite Gauthier, Daniel Genoud, André Laﬀont, Hadrien Larôme, Ibrahim Rihaoui, René Roy, Philippe Saadé, Marie-Dominique Siéfert, Marie-Pascale Thon, Audrey Verdier. vii © Dunod. Le photocopie non autorisée est un délit TITRE FICTIF Raisonnement, vocabulaire ensembliste Raisonnement, vocabulaire ensembliste Chapitre 1 Plan Les méthodes à retenir 2 Les énoncés des exercices 7 Du mal à démarrer ? 11 Les corrigés des exercices 12 Vrai ou faux ? 18 Vrai ou faux, les réponses 19 Thèmes abordés dans les exercices • Mise en oeuvre, sur des exemples simples, des diﬀérents types de raisonnement • Égalités et inclusions d’ensembles obtenus par opérations sur des parties d’un ensemble • Injectivité, surjectivité, bijectivité • Image directe, image réciproque d’une partie par une ap- plication. Points essentiels du cours pour la résolution des exercices • Déﬁnition et propriétés des opérations entre ensembles, ∩, ∪, ∁E, \ • Déﬁnition de la fonction indicatrice d’une partie d’un en- semble • Déﬁnition du produit cartésien d’un nombre ﬁni d’en- sembles • Déﬁnition et propriétés de l’injectivité, de la surjectivité, de la bijectivité pour les applications • Déﬁnition de l’image directe, de l’image réciproque d’une partie par une application • Relations d’équivalence, relations d’ordre. 1 © Dunod. Le photocopie non autorisée est un délit Chapitre 1 – Raisonnement, vocabulaire ensembliste Les méthodes à retenir Pour travailler de ma- nière générale sur des ensembles Essayer de passer par les éléments des ensembles, ou de calculer globa- lement sur les ensembles. La deuxième voie est en général plus courte et plus claire (si elle est praticable). ➟Exercices 1.1, 1.2, 1.7, 1.8, 1.16 à 1.18 Méthode Soient E un ensemble, A, B, C ∈P(E). Montrer : (A\C)\(B\C) = A\(B ∪C). On a : (A \ C) \ (B \ C) = (A ∩C) \ (B ∩C) = (A ∩C) ∩B ∩C = (A ∩C) ∩(B ∪C) = (A ∩C ∩B) ∪(A ∩C ∩C) = A ∩B ∩C = A ∩(B ∪C) = A \ (B ∪C). Exemple Pour établir une égalité d’ensembles Essayer de : • soit montrer directement l’égalité • soit montrer deux inclusions : A ⊂B et B ⊂A • soit utiliser les fonctions indicatrices des parties d’un ensemble ➟Exercices 1.2, 1.7, 1.8, 1.12, 1.18 Dans chacune des deux premières options, on essaie de passer par les éléments ou de calculer globalement sur les ensembles. Méthode Soient E un ensemble, A, B ∈P(E). Montrer : (A \ B) ∪(A \ C) = A \ (B ∩C). On a : (A \ B) ∪(A \ C) = (A ∩B) ∪(A ∩C) = A ∩(B ∪C) = A ∩B ∩C = A \ (B ∩C). Exemple 2 Les méthodes à retenir Montrer : y ∈R ; ∃x ∈[−1 ; 2], y = x2 = [0 ; 4]. • Soit y ∈R tel qu’il existe x ∈[−1 ; 2] tel que y = x2. Si x ∈[−1 ; 0], alors y ∈[0 ; 1]. Si x ∈[0 ; 2], alors y ∈[0 ; 4]. On déduit y ∈[0 ; 4]. Ceci montre que le premier ensemble est inclus dans le second. • Réciproquement, soit y ∈[0 ; 4]. En notant x = √y, on a x ∈[0 ; 2] ⊂[−1 ; 2] et y = x2. Ceci montre que le second ensemble est inclus dans le premier. On conclut à l’égalité demandée. Exemple Pour montrer, par ré- currence (faible), qu’une propriété P(n) est vraie pour tout entier n tel que n ⩾n0 Montrer que : • P(n0) est vraie (initialisation) • pour tout entier n ﬁxé tel que n ⩾n0, si P(n) est vraie, alors P(n + 1) est vraie (hérédité). ➟Exercice 1.5 Méthode On considère la suite de Fibonacci (φn)n∈N déﬁnie par φ0 = 0, φ1 = 1 et : ∀n ∈N, φn+2 = φn+1 + φn. Montrer : ∀n ∈N, φ2 n+1 −φn+2φn = (−1)n. Initialisation : Pour n = 0, on a : φ2 1 −φ2φ0 = 12 −1 · 0 = 1 = (−1)0, donc la formule est vraie pour n = 0. Hérédité : Supposons que la formule soit vraie pour un n ∈N ﬁxé. On a alors : φ2 n+2 −φn+3φn+1 = φ2 n+2 −(φn+2 + φn+1)φn+1 = (φ2 n+2 −φn+2φn+1) −φ2 n+1 = φn+2(φn+2 −φn+1) −φ2 n+1 = φn+2φn −φ2 n+1 = −(φ2 n+1 −φn+2φn) = −(−1)n = (−1)n+1, donc la formule est vraie pour n + 1. Ceci montre, par récurrence, que la formule est vraie pour tout n ∈N. Exemple Pour montrer, par récur- rence à deux pas, qu’une propriété P(n) est vraie pour tout entier n tel que n ⩾n0 Montrer que : • P(n0) et P(n0 + 1) sont vraies (initialisation) • pour tout entier n ﬁxé tel que n ⩾n0, si P(n) et P(n + 1) sont vraies, alors P(n + 2) est vraie (hérédité). ➟Exercice 1.10 Méthode 3 © Dunod. Le photocopie non autorisée est un délit Chapitre 1 – Raisonnement, vocabulaire ensembliste On considère la suite réelle (un)n∈N dé- ﬁnie par u0 = 0, u1 = 1 et : ∀n ∈N, un+2 = un+1 + un 2 . Montrer : ∀n ∈N∗, un > 0. Initialisation : Pour n = 1, on a u1 = 1 > 0, et, pour n = 2, on a u2 = u1 + u0 2 = 1 2 > 0 donc la propriété est vraie pour n = 1 et pour n = 2. Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour n et n + 1, où n ∈N∗est ﬁxé. On a donc un > 0 et un+1 > 0, d’où un+1 + un 2 > 0, donc la propriété est vraie pour n + 2. Ceci montre, par récurrence à deux pas, que la propriété est vraie pour tout n ∈N∗. Exemple Pour montrer, par ré- currence forte, qu’une propriété P(n) est vraie pour tout entier n tel que n ⩾n0 Montrer que : • P(n0) est vraie (initialisation) • pour tout entier n ﬁxé tel que n ⩾n0, si P(n0), ..., P(n) sont vraies, alors P(n + 1) est vraie (hérédité). ➟Exercice 1.11 Méthode On considère la suite réelle (un)n∈N∗dé- ﬁnie par u1 = 1 et : ∀n ∈N∗, un+1 = u1 + u2 2 + · · · + un n nn . Montrer : ∀n ∈N∗, 0 < un ⩽1. Initialisation : Pour n = 1, on a bien 0 < u1 ⩽1 car u1 = 1. Hérédité : Supposons, pour un n ∈N∗ﬁxé, que l’on ait : ∀k ∈{1, ..., n}, 0 < uk ⩽1. On a alors : un+1 = u1 + u2 2 + · · · + un n nn > 0 + · · · + 0 nn = 0 et un+1 = u1 + u2 2 + · · uploads/Ingenierie_Lourd/ mathematiques-methodes-et-exercices.pdf