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1 Pr. K. DJEGHABA / Département de Génie Civil / Faculté des sciences de l’ingé

1 Pr. K. DJEGHABA / Département de Génie Civil / Faculté des sciences de l’ingénieur Université Badji Mokhtar-Annaba INTRODUCTION A LA METHODE DES ELEMENTS FINIS Chapitre II 1-Formulation Intégrale, 2-Approximation, Interpolation, 3-Discrétisation Partie 1: Formulation Intégrale Février 2019 2 Pr. K. DJEGHABA / Département de Génie Civil / Faculté des sciences de l’ingénieur Université Badji Mokhtar-Annaba - Introduction : Nous nous intéressons dans ce chapitre à la présentation de la méthode des éléments finis dans son aspect théorique (avec les justifications nécessaires) et à la présentation de la procédure d’approximations de cette méthode pour arriver à la résolution numérique de système physique qui intéressent les ingénieurs de manière générale et dont il est souvent difficile de trouver une solution analytique Le comportement de ces systèmes physiques est exprimés généralement sous la forme d’un système d’équations différentielles ou d’équations aux dérivées partielles. Comme dans la plupart des cas, il n’existe pas de solution formelle à ces problèmes, on utilise alors pour leur résolution des approximations numériques. Pour cela, ces équations différentielles ou aux dérivées partielles sont transformés sous formes intégrales ou variationnelles par différentes méthodes et avec l’aide de fonctions de pondération et aboutissent ainsi à des approximations du problème initiales. Cela revient en fait, à remplacer l’approche mathématique défini sur un milieu continu par l’équation différentielle par une approche mathématique discrète définie sur un domaine discret. Cette dernière s’exprime par un système d’équations matricielles dont la dimension est finie et qui peut être résolus numériquement. La méthode utilisée pour la transformation des équations aux dérivées partielles est la méthode des résidus pondérés. Et en raison du choix de la fonction de pondération, la méthode des éléments finis est basée sur la méthode de Gallerkin. 2- Idée et concept de la MEF Pour schématiser tout cela nous présentons des ce qui suit un organigramme général qui résume le cheminement de cette méthode en touchant aux différents aspects qui la caractérise et qui confirme encore une fois l’aspect multidisciplinaire de cette méthode Système Physique Equations aux dérivés partielles Formulation Intégrale Système d’Equations Algébrique Formulation mathématique des équations ETAPES MOYEN UTILISE Sciences de l’Ingénieur Lois de la physique Equilibre du corps Transformation des équations Méthode des résidus pondérés (ou autres) Approximations Méthode des éléments finis Résolution Numérique Méthode de GAUSS (ou autres) Solution Approchée du problème physique initial 3 Pr. K. DJEGHABA / Département de Génie Civil / Faculté des sciences de l’ingénieur Université Badji Mokhtar-Annaba 3- Rappel de la théorie d'élasticité Linéaire Dans notre cas, le problème physique étudié concerne un solide élastique en équilibre, sous des sollicitations extérieures et des conditions aux limites par rapport à un système d'axes (xyz). Nous nous proposons de présenter une formulation mathématique à ce problème physique en notant par : {X} = position d'un point V : volume du solide S: surface extérieure du solide : S=Su+Sf Su : surface à déplacements imposés Sf : surface à forces imposées {fs(X)}= fs x fs y fs z : vecteur force surfacique (connu) {σn(X)}= : vecteur forces sur Su (réactions) (inconnu à déterminer) {fv(X)}= fs x fs y fs z vecteur force volumique (connu) {U(X)}= u v w : vecteur champ de déplacement dans V (inconnu à déterminer) { Uu} = u v w : déplacement imposé sur Su (connu) [σij(X)] tenseur de contrainte (inconnu) {U''(X)}= u′′ v′′ w′′ vecteur accélération ρ : masse volumique 3-1 Equation de la théorie d'élasticité Linéaire > Tenseur de Contrainte et Equation d'équilibre sur le volume V l'état de contrainte en un point d'un solide représenté par l'élément infinitésimal suivant : x y z Su Sf {fs} {fv} V x y z σx σy σz τxy τyz τxy τxz τxz τyz 4 Pr. K. DJEGHABA / Département de Génie Civil / Faculté des sciences de l’ingénieur Université Badji Mokhtar-Annaba l'état de contrainte s'écrit sous forme de matrice appelé tenseur de contrainte : σ(, , )$ = % & '&( '&) '&( ( '() '&) '() ) * La théorie de l'élasticité (voir démonstration dans le cours d' Elasticité) nous donne l'écriture de l'équilibre élastique de cet élément sous la forme d'équations aux dérivées partielles à l'intérieur du solide telles que : + + ,-. ,& + ,0.1 ,( + ,0.2 ,) + 3 4 & −6788 = 0 ,0.1 ,& + ,-1 ,( + ,012 ,) + 3 4 ( −688 = 0 ,0.2 ,& + ,012 ,( + ,-2 ,) + 3 4 ) −6:88 = 0 ; (1) et vérifiant les conditions aux limites sur les bords : 1- sur Su >>>> u v w = u v w 2- sur Sf une surface de normale < <= avec {n} = > ? , ( l, m,n sont les cosinus directeurs de < <= ) la contrainte {σn(X)}= satisfait le relation d'équilibre avec l'état de contrainte en ce point [σij(X)] suivante : @A(B)C = D A & A ( A ) E = D &> + '&(? + '&) '&(> + (? + '() '&)> + '()? + ) E > Relation Déformation-Déplacement : le tenseur de déformation l'état de déformation en un point du solide est défini par le tenseur de déformation élastique linéaire : F(B)$ = G H H H H I F& J&( 2 J&) 2 J&( 2 F( J() 2 J&) 2 J() 2 F) L M M M M N 5 Pr. K. DJEGHABA / Département de Génie Civil / Faculté des sciences de l’ingénieur Université Badji Mokhtar-Annaba qui s'écrit en fonction du déplacement {U(X)}= u v w et sous forme de vecteur selon la notation de Voigt : @F(B)C = + + F& F( F) J&( J&) J() + + = + + + + + + ,O ,& ,4 ,( ,P ,) ,O ,( + ,4 ,& ,O ,) + ,P ,& ,4 ,) + ,P ,( + + + + + + (2) > Relation Contraintes-Déformation (loi de Hooke) : > dans le cas d'un problème élastique : la relation contrainte déformation s 'écrit selon la loi de HOOKE telle que : @C = Q$@FC (3) ou @C, @FC sont les tenseurs de contrainte et de déformation écrits sous forme de vecteur selon la notation de Voigt: @C = + + & ( ) '&( '&) '() + + @FC = + + F& F( F) J&( J&) J() + + et Q$ la matrice de HOOKE qui s'écrit avec E: module d'élasticité et ν ν ν ν: coefficient de poisson: Q$ = R (1 + T)(1 −2T) G H H H H I (1 −T) T T T (1 −T) T T T (1 −T) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (1 −2T)/2 0 0 0 (1 −2T)/2 0 0 0 (1 −2T)/2L M M M M N qui peut être écrite aussi sous la forme : @FC = V$@C (4) V$ = 1 R G H H H H I − 1 −T −T T 1 −T −T −T 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2/(1 −2T) 0 0 0 2/(1 −2T) 0 0 0 2/(1 −2T)L M M M M N 6 Pr. K. DJEGHABA / Département de Génie Civil / Faculté des sciences de l’ingénieur Université Badji Mokhtar-Annaba 4-Résolution du Problème d'Elasticité Il s'agit maintenant de résoudre le système d'équation aux dérivées partielles (1) . La solution idéale étant de trouver une solution analytique à ce système. cependant , dans la pratique, cette solution analytique n'est pas toujours possible et cela pour différentes raison (domaine non régulier, discontinuité, valeurs non définie, valeurs infinies, plusieurs matériaux, équations non linéaires etc...) et ceci est valable aussi pour la plupart des problèmes physique qui se posent à l'ingénieur et pour lesquels il n'existe pas de solution formelle. Ainsi, à défaut de disposer d'une solution exacte, la recherche d'une solution d'approximation s'impose dans ce cas la. L'objectif étant évidemment de remplacer ce problème mathématique qui est défini sur un milieu continu (sous la forme d'équations aux dérivées partielle) par un problème discret (sous la forme de système d'équations algébriques pouvant êtres réécrites sous forme matricielle) dont la dimension est fini et donc pouvant être résolus numériquement. Pour arriver à cela deux méthodes principales sont utilisé en élément finis qui permettent d'arriver à une forme intégrale. - méthode des résidus pondérés - méthode variationnelle 4-1- Méthode des résidus Pondérés de façon générale cette méthode est basée sur : • la définition d'un résidu (dans notre cas l'équation régissant le problème); • la pondération de ce résidu par une fonction test ou fonctions de uploads/Ingenierie_Lourd/ mef-dk-chap2-1-formulation-integrale-pdf.pdf