Plan d’expériences        Voici un document qui m’a

Plan d’expériences        Voici un document qui m’a permis de comprendre les principes des plans d’expériences dans mes études, j’ai fait la synthèse des quelques documents, j’espère que cela vous profitera dans votre formation, car la science et la connaissance sont universelles et il faut la partager… Juan ROSAS 1.1. Présentation des plans d’expériences 1.1.1. Principe La technique des plans d’expériences va permettre de répondre à nos exigences. En effet, son principe consiste à faire varier simultanément les niveaux de un ou plusieurs facteurs (qui sont les variables, discrètes ou continues) à chaque essai. Ceci va permettre de diminuer fortement le nombre d’expériences à réaliser tout en augmentant le nombre de facteurs étudiés, en détectant les interactions entre les facteurs et les optimaux par rapport à une réponse, c’est-à-dire une grandeur utilisée comme critère et en permettant de modéliser facilement les résultats. Le point délicat dans l’utilisation des plans d’expériences sera donc de minimiser le plus possible le nombre d’expériences à mener sans sacrifier la précision sur les résultats. Il existe actuellement un nombre important de plans différents. Chacun, par ses propriétés, permet de résoudre certains problèmes particuliers. On peut cependant diviser les plans d’expériences en deux grandes catégories : – les plans pour étudier (estimer et comparer) les effets des paramètres, – les plans pour régler les paramètres afin d’atteindre un optimum. L’idée essentielle qui doit mener la démarche expérimentale de l’expérimentateur est que l’on met en oeuvre un plan d’expériences afin de répondre à une problématique bien Plan d’expériences        précise. Il faut donc choisir ou construire le plan qui donnera les informations recherchées. On ne pourra donc pas utiliser le même plan pour étudier efficacement les effets des paramètres tout en cherchant un optimum. Afin d’obtenir des informations pertinentes, une démarche méthodologique doit être suivie : – définitions des objectifs et critères, – définition des facteurs étudiés et du domaine expérimental, – construction du plan d’expériences, – expérimentation, – analyse des résultats, – conduite éventuelle d’essais supplémentaires, – validation des résultats, – conclusion de l’étude. A l’issue de cette procédure, on pourra conclure sur les résultats donnés par les plans. 1.1.2 Étude des effets des facteurs Cette première partie est dédiée à la présentation des plans d’expériences dont l’objectif est d’estimer et comparer les effets des facteurs étudiés. Il existe de nombreux plans qui permettent de réaliser une telle étude. Nous nous contenterons ici de présenter les plans d’expériences factoriels qui sont les plus simples et les plus utilisés et qui ont donné de bons résultats. 1.1.2.1 Plans factoriels complets Nous allons dans un premier temps présenter les plans factoriels, c’est-à-dire les plans d’expériences à 2 niveaux par facteur. Ce sont les plus utilisés car les plus simples et les plus rapides à mettre en oeuvre. Tout d’abord, nous allons traiter les plans factoriels complets. Avec deux niveaux et k facteurs, ceux-ci sont notés 2k. Dans un plan factoriel complet, la totalité des expériences doit être réalisée, comme dans la méthodologie standard. Pour un plan factoriel complet optimal à k facteurs, il va donc falloir mener 2k expériences. Le principe consiste alors à répartir de façon optimale les essais dans le domaine expérimental. Soit par exemple un plan factoriel complet à 2 facteurs, noté : 22. La meilleure stratégie consiste à choisir les points de mesures aux extrémités du domaine expérimental, ce qui accroît la précision du résultat et ne demande que 4 essais notés Plan d’expériences        Figure. 1.1 – Emplacement des points expérimentaux dans le domaine expérimental Figure 1.2 : Le niveau bas du facteur est noté par - 1 et le niveau haut par +1. Le domaine de variation du facteur est constitué de toutes les valeurs comprises entre le niveau bas et le niveau haut. 1.1.2.2. Analyse de la variance Une difficulté inhérente à l’expérimentation consiste en la non-répétabilité des résultats mesurés. Ce problème peut avoir des origines diverses et fausser le résultat obtenu. La problématique consiste donc à déterminer quand un résultat est influent ou non. Il va donc falloir estimer l’erreur que l’on commet sur le calcul des différents effets. La première précaution à prendre pour minimiser l’influence des dérives des mesures sous la contrainte de conditions extérieures variables est d’organiser la réalisation des essais dans un ordre aléatoire. Il faut dans un second temps quantifier l’erreur commise sur les résultats et choisir l’erreur expérimentale retenue pour l’analyse des résultats ce qui permettra alors de s’appuyer sur les outils statistiques pour exploiter les résultats des plans. 1.1.3 Notion de surface de réponse Plan d’expériences        Les niveaux x i représentent les coordonnées d'un point expérimental et y est la valeur de la réponse en ce point. On définit un axe orthogonal à l'espace expérimental et on l'attribue à la réponse. La représentation géométrique du plan d'expériences et de la réponse nécessite un espace ayant une dimension de plus que l'espace expérimental. Un plan à deux facteurs utilise un espace à trois dimensions pour être représenté : une dimension pour la réponse, deux dimensions pour les facteurs. A chaque point du domaine d'étude correspond une réponse. A l'ensemble de tous les points du domaine d'étude correspond un ensemble de réponses qui se localisent sur une surface appelée la surface de réponse (Figure 1.3). Le nombre et de l'emplacement des points d'expériences est le problème fondamental des plans d'expériences. On cherche à obtenir la meilleure précision possible sur la surface de réponse tout en limitant le nombre d’expériences. Figure 1.3 : Les réponses associées aux points du domaine d'étude forment la surface de réponse. Les quelques réponses mesurées aux points du plan d'expériences permettent de calculer l'équation de la surface de réponses. 1.1.4 Système d'équations Chaque point expérimental permet d'obtenir une valeur de la réponse. Cette réponse est modélisée par un polynôme dont les coefficients sont les inconnues qu'il faut déterminer. A la fin du plan d'expériences, on a un système de n équations (s'il y a n essais) à p inconnues (s'il y a p coefficients dans le modèle choisi a priori). Ce système s'écrit d'une manière simple en notation matricielle : y = X + e (1.1) Plan d’expériences        y, est le vecteur des réponses. X, est la matrice de calcul, ou matrice du modèle, qui dépend des points expérimentaux choisis pour exécuter le plan et du modèle postulé.  est le vecteur des coefficients. e est le vecteur des écarts. Ce système possède un nombre d'équations inférieur au nombre d'inconnues. Il y a n équations et p + n inconnues. Pour le résoudre, on utilise une méthode de régression basée sur le critère des moindres carrés. On obtient ainsi les estimations des coefficients que l'on note : â Le résultat de ce calcul est : â = (X’X)-1 X’ y (1.2) Formule dans laquelle la matrice 'X est la matrice transposée de X. De nombreux logiciels exécutent ce calcul et donnent directement les valeurs des coefficients. Deux matrices interviennent constamment dans la théorie des plans d’expériences : La matrice d’information X’.X La matrice de dispersion (X’.X)-1 1.1.5. Plans factoriels complets a deux niveaux Ces plans possèdent un nombre de niveaux limité à deux pour chaque facteur. Toutes les combinaisons de niveaux sont effectuées au cours de l'expérimentation. Ces plans peuvent être utilisés indistinctement pour les variables continus et pour les variables discrètes. 1.1.5.1. Plan à deux facteurs Pour deux facteurs, le domaine d'étude est un carré Le modèle mathématique postulé est un modèle du premier degré par rapport à chaque facteur : y = o + 1x1 + 2x2 + 12x1x2 + e (1.3) • y est la réponse • x i représente le niveau attribué au facteur i. •  0 est la valeur de la réponse au centre du domaine d'étude. •  1 est l'effet (ou effet principal) du facteur 1. •  2 est l'effet (ou effet principal) du facteur 2. Plan d’expériences        •  12 est l'interaction entre les facteurs1 et 2. • e est l'écart. 1.1.5.2. Plans factoriels à k facteurs à 2 niveaux On peut augmenter le nombre de facteurs. L'espace expérimental possède autant de dimensions qu'il y a de facteurs et le modèle mathématique correspond à la relation (1.4) y = o + ixj + ijxixj +…+ ijx2 i + ij…z xi xj …xz + e (1.4) Un plan comportant k facteurs à deux niveaux est noté 2 k . • Le k en exposant signifie qu'il y a k facteurs étudiés. • Le 2 indique le nombre de niveaux par facteur. On remarquera que cette notation indique également le nombre d'essais à réaliser. Ce nombre devient rapidement très important. Pour seulement 7 facteurs, il faudrait exécuter 128 essais. Pour diminuer le nombre des essais en conservant la possibilité d'étudier tous les facteurs, les plans factoriels fractionnaires à deux niveaux ont été introduits. 1.1.6. uploads/Ingenierie_Lourd/ plan-d-experience-synthse.pdf

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