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OLYMPIADES FRANÇAISES DE MATHÉMATIQUES ÉPREUVE DE SÉLECTION ?? CORRIGÉ EXERCICES POUR LES ÉLÈVES DE COLLÈGE ET DE SECONDE Exercice Fred et Sarah sont les a? nés d ? une même et grande famille Fred a deux fois moins de frères que de s ?urs tandis que Sarah a autant de s ?urs que de frères Combien d ? enfants y a-t-il dans cette famille Solution de l ? exercice Notons f le nombre de ?lles et g le nombre de garçons de cette famille Fred a donc g ?? frères et f s ?urs et le texte indique alors que f g ?? D ? autre part Sarah a elle f ?? s ?urs et g frères et l ? énoncé nous dit alors que f ?? g En remplaçant g par f ?? dans la première égalité on trouve f f ?? ce qui conduit à f puis à g f ?? ce qui donne un total de enfants Exercice Pour préparer un steak il faut le cuire une minute sur chaque côté On ne dispose que d ? une seule poêle dans laquelle on peut mettre deux steaks a Comment préparer quatre steaks en quatre minutes b Comment préparer cinq steaks en cinq minutes On ne tient évidemment pas compte du temps perdu lors des manipulations Solution de l ? exercice a Il est clair que si l ? on commence par cuire les steaks A et B ensemble pendant une minute puis qu ? on les retourne et qu ? on les fait cuire à nouveau ensemble une minute ces deux steaks seront alors cuits à souhait pour un temps total de deux minutes Il suf ?t alors de faire cuire les steaks C et D de la même façon pour obtenir nos quatre steaks cuits pour un total de quatre minutes b Il est facile de véri ?er que l ? on peut adopter la stratégie du a pour un nombre pair quelconque de steaks Mais pour un nombre impair cela ne fonctionne plus Notons A B C D E les cinq steaks Les faces du steak A sont notées A et A et on adopte des notations similaires pour les autres steaks Pour atteindre l ? objectif souhaité on peut alors utiliser la procèdure suivante on fait cuire une minute chacune des paires de faces A B puis B C puis C D puis D E puis E A CExercice Sur une bo? te rectangulaire de dimension cm ? cm on a placé un ruban en diagonale comme le montre la ?gure ci-dessous le ruban est représenté en gris sur la ?gure A B DC On a mesuré AB cm et BC cm Calculer la largeur du ruban Solution de l ? exercice Pour trouver la largeur du ruban nous allons calculer la surface A du trapèze ABCD de deux façons di ?érentes L ? aire d ? un trapèze vaut base ? hauteur En prenant la base CD on trouve A ? cm Si