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1 1 CHAPITRE 5 Par J. BAUDET H.D.R. I.R1 C.N.R.S. honoraire Juin 2013 2 2 AVANT

1 1 CHAPITRE 5 Par J. BAUDET H.D.R. I.R1 C.N.R.S. honoraire Juin 2013 2 2 AVANT-PROPOS Combien il est parfois difficile de retrouver les notions mathématiques nécessaires à la résolution d’un problème physique. Ces notions ont été enseignées le plus souvent à une autre période et vite oubliées car ne correspondant alors pas à un besoin concret. Et si par hasard, on se souvient de ces notions, on a parfois des difficultés à retrouver leur démonstration ou, tout au moins, leur fondement et leurs conditions de validité ! Et cependant, il est indispensable si l’on veut être rigoureux dans la conception d’un système électronique et être capable d’interpréter correctement les résultats obtenus, d’avoir en mémoire l’outil mathématique nécessaire et surtout d’être en mesure de faire le pont entre cet outil et le problème concret qui se présente. Il est aussi indispensable, si l’on veut maîtriser les informations multiples qui arrivent, en particulier par l’intermédiaire de l’outil informatique, d’avoir un esprit critique, autrement dit le sens physique étayé par les mathématiques, qui permettra d’avoir une bonne estimation du résultat obtenu et donc de sa validité. Ayant une formation d’ingénieur et après avoir effectué toute ma carrière comme responsable de R&D en électronique au L.R.P.E.* (devenu TELICE* et rattaché au D.H.S.*, l’un des trois départements de l’I.E.M.N.* de l’U.S.T.L.*), maintenant que la retraite est venue, j’ai été tenté de faire partager mon expérience, si toutefois cela est possible ! Remerciements : Le Professeur Y. Crosnier, professeur honoraire à l’I.E.M.N.* de l’U.S.T.L.*, a corrigé avec très grande rigueur, voire critiqué très pertinemment et positivement ce document et ses évolutions successives: cela me fut d’une grande aide. Sa disponibilité, caractérisée par un nombre impressionnant de longs rendez-vous, et la qualité de ses corrections m’encouragèrent tout au long de cette rédaction et je lui en suis reconnaissant. Madame M.-T. Pourprix, Maître de Conférences honoraire en Mathématiques à l’U.S.T.L.*, a apporté une contribution importante et déterminante pour la rédaction des parties plus spécifiquement mathématiques de ces différents chapitres. Sa disponibilité et sa patience me furent très précieuses et je l’en remercie. Il faut souligner que Madame Pourprix est l'auteur du livre : "Des mathématiciens à la Faculté des Sciences de Lille, 1854-1971" Editeur : L'Harmattan , Paris(16 avril 2009) Monsieur J.-P. Lestamps, Ingénieur honoraire, m’a apporté une aide fondamentale en ce qui concerne la médiatisation de ce document : qu’il trouve ici l’expression de ma gratitude la plus sincère. * L.R.P.E. : Laboratoire de Radio Propagation et Electronique * TELICE : TELécommunications, Interférences et Compatibilité Electromagnétique *D.H.S. : Département Hyperfréquences et Semi-conducteurs *I.E.M.N. : Institut d’Electronique, de Microélectronique et de Nanotechnologies * U.S.T.L. : Université des Sciences et Technologies de Lille 3 3 PRÉSENTATION  Le cinquième chapitre aborde l’ « Intégrale de Fourier » et la « Fonction de Corrélation ». Grâce à cela la représentation de fonctions « Non Périodiques » peut être abordée. Ce chapitre se poursuit alors par la présentation de la « Densité Spectrale d’Energie » et par celle de la « Densité Spectrale de Puissance». Il se poursuit ensuite par un développement concernant les « Fonctions Pseudo-Aléatoires » dont l’étude est très dépendante de la fonction d’autocorrélation. Enfin, le concept de l’ « Impulsion de Dirac » est abordé à partir des résultats obtenus pour la fonction « porte », fonction non périodique. Outre l’apport, toujours aussi précieux, de mes collègues cités en avant-propos, je me suis appuyé, pour ce chapitre, sur certaines définitions et démonstrations données par : Frédéric de Coulon, aux chapitres 1 et 4 de son Traité d'électricité, vol VI, Théorie et traitement des signaux, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, 1ère édition 1985, réédité en 1999 4 4 S O M M A I R E AVANT-PROPOS .......................................................................................................................................... 2 5. DE L’INTEGRALE DE FOURIER ET LA CORRELATION VERS LA DENSITE SPECTRALE ET LA GENERATION DE SPECTRES ................................................ 6 5.1 INTRODUCTION ................................................................................................................................ 6 5.1.1 Rappel concernant les fonctions traitées précédemment ............................................................... 6 5.1.2 Quelles classes de fonctions n’entrent pas dans cette catégorie ? .................................................. 6 5.1.3 Les outils nécessaires au traitement de ces deux classes de fonctions ........................................... 8 5.1.4 A propos des notations ................................................................................................................. 8 5.2 L’INTEGRALE DE FOURIER, SES PROPRIETES ET SA FONCTION INVERSE ........................... 9 5.2.1 Présentation ................................................................................................................................. 9 5.2.2 Effet d’une fenêtre sur une fonction non périodique .................................................................... 9 5.2.3 Elargissement de la fenêtre : passage de la série de Fourier à l’intégrale de Fourier .................... 11 5.2.4 Retour à la fonction temporelle : Transformation de Fourier Inverse .......................................... 13 5.2.5 Interprétation physique des fonctions G(f) et g((t) ...................................................................... 14 5.2.6 Quelques propriétés de la Transformation Intégrale de Fourier d’une fonction réelle ................. 16 5.2.7 Quatre exemples didactiques ...................................................................................................... 29 5.3 LES FONCTIONS DE CORRELATION ............................................................................................ 41 5.3.1 Introduction ............................................................................................................................... 41 5.3.2 Les relations des fonctions d’intercorrélation et d’autocorrélation de fonctions complexes ou réelles à énergie finie. Signification des résultats obtenus......................................................................... 43 5.3.3 Les relations des fonctions d’intercorrélation et d’autocorrélation de fonctions complexes ou réelles à puissance moyenne finie. Signification des résultats obtenus ..................................................... 54 5.3.4 Quelques remarques pour les électroniciens ............................................................................... 56 5.3.5 Les relations des fonctions d’intercorrélation et d’autocorrélation de fonctions réelles périodiques. Signification des résultats obtenus ........................................................................................ 57 5.3.6 Une application pleine d’enseignements et de renseignements : la détection synchrone .............. 71 5.3.7 Quelques mots sur la gestion « discrète » de la corrélation ......................................................... 84 5.4 LA FONCTION D’AUTOCORRELATION AU SERVICE DE L’OBTENTION DE LA « DENSITE SPECTRALE » D’ENERGIE OU DE PUISSANCE ..................................................................................... 89 5.4.1 Introduction ............................................................................................................................... 89 5.4.2 Approche à partir du cas des fonctions périodiques réelles ......................................................... 89 5.4.3 Approche de la Densité Spectrale de Puissance de fonctions réelles à puissance moyenne finie . 94 5.4.4 Approche de la Densité Spectrale d’Energie de fonctions réelles à énergie finie ........................ 98 5.4.5 Une application qui se base sur de nombreux développements exposés dans ce document afin d’aboutir aux Séquences Pseudo-Aléatoires........................................................................................... 101 5.4.6 Une solution au problème des faibles niveaux générés par la « fonction porte » : la « fonction pseudo-aléatoire » ................................................................................................................................... 112 5.5 L’IMPULSION DE DIRAC .............................................................................................................. 137 5.5.1 Comment un électronicien en prend-il conscience dans l’exercice pratique de sa profession .... 137 5.5.2 Approche de l’Impulsion de Dirac à partir du signal « rectangulaire unipolaire et unique» ...... 139 5.5.3 Approche Mathématique de l’Impulsion de Dirac .................................................................... 140 5.5.4 Application de l’Impulsion de Dirac au prélèvement de signaux électroniques dans le domaine temporel (appelé aussi « Echantillonnage ») ............................................................................................ 145 5 5 CH 5 : DE L’INTEGRALE DE FOURIER ET LA CORRELATION VERS LA DENSITE SPECTRALE ET LA GENERATION DE SPECTRES Outre l’apport, toujours aussi précieux, de mes collègues cités en avant-propos, je me suis appuyé, pour ce chapitre, sur certaines définitions et démonstrations données par : Frédéric de Coulon, aux chapitres 1 et 4 de son Traité d'électricité, vol VI, Théorie et traitement des signaux, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, 1ère édition 1985, réédité en 1999 6 6 5. DE L’INTEGRALE DE FOURIER ET LA CORRELATION VERS LA DENSITE SPECTRALE ET LA GENERATION DE SPECTRES 5.1 INTRODUCTION 5.1.1 Rappel concernant les fonctions traitées précédemment Dans les chapitres 3 et 4 nous avons présenté un outil mathématique permettant, moyennant quelques restrictions énoncées au paragraphe 3-3 du chapitre 3, de décomposer des fonctions périodiques en une série de fonctions harmoniques trigonométriques (chapitre 3) ou de la forme j e (chapitre 4). Cet outil est nommé « décomposition en série de Fourier ». Rappelons qu’une fonction est dite périodique sur T si elle conserve indéfiniment (donc dans l’intervalle      t ) les caractéristiques qu’elle possède sur T . Une telle définition peut paraître irréaliste et ne pas correspondre aux contraintes humaines... Cependant, par exemple en électronique, si nous considérons que l’on allume un générateur (ou du moins on devrait le faire pour le laisser se stabiliser en température) un moment avant son utilisation, on peut considérer la définition de périodicité satisfaite. En effet, elle est vérifiée de par la très faible durée de la période T du signal par rapport à sa durée d’existence dans des conditions de non modification. Note pour les électroniciens : on retrouve, dans cette présentation succincte, l’importance de la durée d’analyse des composantes spectrales successives lorsque l’on utilise un analyseur de spectre à balayage. Rappelons aussi que la fonction périodique doit être à énergie finie durant sa période T, donc à puissance moyenne finie, (ceci est développé en annexe 6-7) pour que le développement en série puisse exister. Note : il faut constater qu’une telle fonction (c’est-à-dire ne possédant pas une énergie infinie durant sa période), possède une énergie infinie sur toute son existence (puisqu’elle est censée être de durée infinie) mais conserve une puissance moyenne finie (identique à celle trouvée sur une période). 5.1.2 Quelles classes de fonctions n’entrent pas dans cette catégorie ? Il existe deux classes de fonctions que l’on retrouve en électronique et qui n’entrent pas dans la catégorie des fonctions définies ci-dessus. Il s’agit, d’une part, des fonctions dites « à énergie finie sur toute leur existence» et, d’autre part, des uploads/Litterature/ 5-chapitre5.pdf