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Table des matières 1 Introduction Le but de ce cours et d’apprendre les outils

Table des matières 1 Introduction Le but de ce cours et d’apprendre les outils mathématiques de base, particulièrement ceux qui se- ront nécessaires durant la formation en électronique. Ces notes de cours donnent les principales définitions et les résultats fondamentaux, illustrés par des exemples. 2 Chapitre1 Vocabulaire de la logique 1.1 Assertions Les assertions du monde mathématique sont celles qui peuvent se traduire par une formule où interviennent les ensembles de nombres (entiers, réels,...), des constantes (0,1,...), des variables (x,a,...), les opérations (±,×,..), les relations (=,≤,...), et les symboles ∀,∃,∈,⇒,⇐ ⇒, et qui res- pectent la syntaxe. Exemple 1. Les formules (1 > 0), (1 = 0), (x > 1) sont des assertions. Les assertions (1 > 0) et (1 = 0) sont complètes, elles ont une signification indépendante de tout contexte : la première est vraie, la seconde fausse. L’assertion (x > 1) n’est pas complète, car elle contient une variable libre x, et on ne peut pas répondre à la question l’assertion (x > 1) est elle vraie?, car la réponse dépend de x. Définition 1. Une assertion est complète si toutes les variables sont quantifiées par un quantificateur ∀ou ∃. — (∀x ∈E) se lit quel que soit x appartenant à E, ou pour tout x dans E. — (∃x ∈E) se lit il existe un élément de E tel que. Exemple 2. ((∀x ∈R)(x > 1)) est une assertion complète. Elle est évidemment fausse, mais c’est son droit. 1.1.1 Traduction Le jeu mathématique consiste à établir si des assertions complètes sont vraies ou fausses. Il faut savoir convertir en formules mathématiques des énoncés du langage courant et inversement. Exercice 1. Ecrire sous forme de formule mathématique l’assertion suivante. Pour tout rationnel stric- tement positif, il existe un entier strictement plus grand que lui. 3 Solution Propriété archimédienne des rationnels (∀x ∈Q) ((x > 0) ⇒((∃n ∈N)(n > x))). Exercice 2. Traduire en langage courant l’assertion exprimée par la formule (∀x ∈N) (∀x′ ∈N) ((x , 0) et (x′ , 0)) ⇒(∃y ∈N)(∃q ∈N)(∃q′ ∈N) ((y = qx) et (y = q′x′) et (y , 0))). Solution Multiple commun deux entiers strictement positifs possèdent un multiple commun non nul. 1.1.2 Dictionnaire Ci-dessous, une liste de termes mathématiques avec leur description en langage courant. Négation. C’est dire le contraire. La négation de j’ai 18 ans est je n’ai pas 18 ans. On note nonP la négation de l’assertion P. Et. Si P et Q sont des assertions, (PetQ) est l’assertion qui est vraie lorsque P et Q sont toutes les deux vraies. J’ai 18 ans et je suis étudiant à l’IFIPS. Ou. Si P et Q sont des assertions, (PetQ) est l’assertion qui est vraie sauf si P et Q sont toutes les deux fausses. C’est donc un ou au sens large, non exclusif. C’est le ou de mon père ou ma mère viendra me chercher à la gare et non celui de je dois choisir entre prendre le RER ou la voiture. Implication. Si P et Q sont des assertions, l’assertion P= ⇒Q exprime l’idée que si P est vraie, alors Q doit être vraie aussi, sans qu’il y ait pour autant une relation de cause à effet. Par exemple, j’ai mon permis de conduire implique j’ai plus de 18 ans, même si ce n’est pas d’obtenir le permis de conduire qui m’a fait vieillir. Equivalence. Si P et Q sont des assertions, l’assertion P ⇐ ⇒Q exprime l’idée que P et Q sont vraies simultanément. Autrement dit, (P ⇐ ⇒Q)signifie(P= ⇒Q)et(Q= ⇒P). Par conséquent, démontrer une équivalence, c’est démontrer deux implications. Sauf dans des si- tuations très simples d’application immédiate de règles, on a en général intérêt à les démontrer séparément. Réciproque. Soient P et Q sont des assertions. La réciproque de l’implication P= ⇒Q, c’est l’asser- tion Q= ⇒P. Elles sont vraies toutes les deux si et seulement si P ⇐ ⇒Q est vraie. Exercice 3. Quelle est la réciproque de l’assertion Tout professeur a été étudiant? Solution : Toute personne ayant été étudiant est professeur. Contraposée. Soient P et Q sont des assertions. On appelle l’assertion nonQ= ⇒nonP la contra- 4 posée de Q= ⇒P. Proposition 1. Soient P et Q des assertions. L’assertion nonQ= ⇒nonP est synonyme de mathcalP= ⇒Q. Remarque 1. Les symboles ∀, ∃, ⇐ ⇒, = ⇒ne sont pas des abbréviations à insérer dans un texte. Ils n’ont leur place que dans des formules mathématiques. 1.1.3 Ambiguïtés du langage courant Ci-dessous, une liste de termes du langage courant et leur traduction (parfois problématique) en formule mathématique. Si. La phrase les étudiants viennent voir le prof s’ils n’ont rien compris peut avoir plusieurs sens suivant le contexte. Pour le prof surmené qui manque de temps après un cours, ça peut vouloir dire : ne viennent me voir aujourd’hui que les étudiants qui n’ont rien compris. Pour un prof qui travaille dans des conditions normales, ça devrait vouloir dire : tout étudiant qui ne comprend pas devrait venir me voir. La version speedée se traduit par vient me voir aujourd’hui = ⇒ n’a rien compris. La version cool par n’a rien compris = ⇒ vient me voir aujourd’hui, c’est-à-dire, la réciproque. On nage en pleine confusion. En mathématiques, pour éviter toute confusion, si P, alors Q est synonyme de P= ⇒Q. P si et seule- ment si Q est synonyme de P ⇐ ⇒Q. Pour la question pour quelles valeurs de a a-t-on a2 < a?, je réponds pour 0 < a < 1. Est-ce que ça veut dire (0 < a < 1) ⇐ ⇒ (a2 < a) ?ou plutôt (a2 < a) ⇐ ⇒ (0 < a < 1) ?ou (a2 < a) ⇐ ⇒ (0 < a < 1) ? Pour être précis, je dois répondre on a : a2 < a si et seulement si 0 < a < 1. Contraire. Traduire par négation? - J’ai dit que le groupe jaune est convoqué à 14h cet après-midi - Non, vous avez dit le contraire, vous avez dit que c’est le groupe rouge." Donc le contraire de (∀x ∈{étudiants})((x ∈{jaune)= ⇒(rendez-vous = 14h)) est (∀x ∈{étudiants})((x < {jaune)= ⇒(rendez-vous = 14h))? Rien à voir avec une négation. Eviter d’utiliser le mot contraire. Il faut ou Il suffit? "– Comment je vais montrer que ((x2 + x + 1 < y)= ⇒( 1 x2+x+1 > 1 y))? 5 – Tu sait prendre l’inverse d’une inégalité entre nombres positifs? – Ben oui. – Y faut donc que tu montres d’abord que x2 + x + 1 est toujours positif." En réalité, il suffit que x2 + x + 1 > 0 pour que l’implication à démontrer soit vraie. En effet, (∀x ∈R)(∀y ∈R) ((x2 + x + 1 > 0) ((x2 + x + 1 < y)= ⇒ 1 x2 + x + 1 > 1 y ))). Si P= ⇒Q, il suffit que P soit vraie pour que Q soit vraie, et il faut que Q soit vraie pour que P soit vraie. On dit parfois que P est une condition suffisante pour Q, et que Q est une condition nécessaire pour P. Par exemple, avoir au moins 18 ans est une condition nécessaire pour avoir le permis de conduire, mais ce n’est pas suffisant. Exercice 4. Dans Q, être positif ou nul est-il — une condition nécessaire, — une condition suffisante, — une condition nécessaire et suffisante pour être un carré? Et si on remplace Q par R? par C? Condition nécessaire ou suffisante sur Q, c’est une condition nécessaire (car un carré est toujours positif ou nul) mais non suffisante (car 2 n’est pas le carré d’un rationnel, bien qu’il soit positif ou nul). Sur C c’est une condition suffisante, puisque tout nombre complexe est le carré d’un nombre complexe, mais ce n’est pas necessaire (ça n’a même pas de sens). Sur R, c’est une condition néces- saire et suffisante. 1.1.4 Opérations sur les assertions On rassemble une série de recettes qui rendent les exercices en partie mécaniques. Règles relatives à la négation — non(x < y), c’est (x ≥y). — Soit P(x) une assertion dépendant d’une variable libre x. Alors non((∀x ∈E)P(x)), c’est (∃x ∈ E)(nonP(x)). — Pour toute assertion, non(nonP) = P. Une assertion P est vraie si et seulement si nonP est fausse. On peut donc voir la négation comme une "porte logique" qui échange vrai et faux. On peut le représenter par la petite table P V F nonP F V . Exercice 5. Ecrire la formule P qui dit que le carré de tout nombre réel est positif ou nul, ainsi que sa négation. 6 solution Négation à un quantificateur P : (∀x ∈R)(x2 ≥0), nonP : (∃x ∈R)(x2 < 0). Exercice 6. Ecrire sous forme de formule mathématique l’assertion Tout réel possède un opposé ainsi que sa négation. solution Négation à deux quantificateurs (∀x ∈R)(∃y ∈R) (x + y = 0). Sa négation est (∃x ∈R)(∀y ∈R) (x + y , 0). Règles relatives à la conjonction et On peut le voir uploads/Litterature/ algebre-1.pdf