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MATHÉMATIQUES POUR LES SCIENCES DE LA VIE EXERCICES ET MÉTHODES DE TOUT EN FICH

MATHÉMATIQUES POUR LES SCIENCES DE LA VIE EXERCICES ET MÉTHODES DE TOUT EN FICHES MATHÉMATIQUES POUR LES SCIENCES DE LA VIE EXERCICES ET MÉTHODES DE TOUT EN FICHES Claire David Maître de conférences à l’UPMC (université Pierre-et-Marie-Curie), Paris Sami Mustapha Professeur à l’UPMC (université Pierre-et-Marie-Curie), Paris Frederi Viens Professeur associé à Purdue University, États-Unis Nathalie Capron Maître de conférences en chimie à l’UPMC (université Pierre-et-Marie-Curie), Paris © Dunod, 2014, 2021 pour la nouvelle présentation 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com ISBN 978-2-10-082702-2 Illustration de couverture : © tr3gi - Fotolia.com Table des matières Avant-propos XI Comment utiliser cet ouvrage ? XII Partie 1 Calculus Nombres réels 2 Fiche 1 Les ensembles de nombres 2 Fiche 2 Intervalles, voisinages, bornes 6 Limites 8 Fiche 3 Limite d’une fonction en un point 8 Fiche 4 Limite d’une fonction en +∞ou −∞ 12 Fiche 5 Propriétés des limites – Opérations sur les limites 14 Fiche 6 Notations de Landau 16 Fonctions numériques 18 Fiche 7 Domaine de déﬁnition d’une fonction, graphe 18 Focus La construction de l’ensemble des réels : les coupures de Dedekind 21 Fiche 8 Comment déﬁnir une fonction ? 22 Fiche 9 Majorations et minorations 24 Fiche 10 Fonctions monotones 26 Fiche 11 Parité, imparité 28 Fiche 12 Symétries 30 Fiche 13 Fonctions périodiques 32 Fonctions usuelles 33 Fiche 14 Fonctions puissances entières 33 Fiche 15 Fonctions polynômes et fonction valeur absolue 35 Focus John Napier et les tables logarithmiques 38 Fiche 16 La fonction logarithme népérien 39 Fiche 17 La fonction exponentielle 41 Fiche 18 Fonctions puissances « non entières » 43 Focus Leibniz et la fonction exponentielle 44 Fiche 19 Fonctions circulaires 45 Fiche 20 Fonctions hyperboliques 47 Focus L’origine de la trigonométrie 49 Continuité 51 Fiche 21 Continuité d’une fonction en un point 51 Fiche 22 Fonctions continues sur un intervalle 55 Dérivabilité 58 Fiche 23 Dérivabilité en un point 58 © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. v Fiche 24 Dérivabilité sur un intervalle 61 Fiche 25 Dérivées successives 65 Fiche 26 Théorème des accroissements ﬁnis et théorème de Rolle 67 Fiche 27 Formule de Taylor-Lagrange 71 Fonctions réciproques 72 Fiche 28 Fonctions réciproques 72 Fiche 29 Les fonctions trigonométriques inverses 75 Fiche 30 Les fonctions hyperboliques inverses 79 Développements limités 81 Fiche 31 Développements limités 81 Fiche 32 Formule de Taylor-Young 84 Fiche 33 Développements limités usuels 89 Fiche 34 Opérations algébriques et composition des développements limités 92 Développements asymptotiques 95 Fiche 35 Développements asymptotiques 95 Convexité 96 Fiche 36 Convexité 96 Équations différentielles linéaires du 1er ordre 100 Fiche 37 Équations différentielles linéaires du 1er ordre homogènes 100 Fiche 38 Équations différentielles linéaires du 1er ordre avec second membre 103 Suites 111 Fiche 39 Qu’est-ce qu’une suite ? 111 Fiche 40 Les différents types de suites 114 Focus Suites arithmético-géométriques et ﬁnance 119 Fiche 41 Étude d’une suite 120 Fiche 42 Majorants, minorants d’une suite réelle Croissance et décroissance 123 Fiche 43 Techniques d’étude des suites réelles 125 Fiche 44 Convergence 127 Fiche 45 Convergence des suites monotones 130 Fiche 46 Opérations sur les limites de suites 132 Fiche 47 Convergence des suites homographiques réelles 135 Fiche 48 Suites extraites 140 Fiche 49 Suites de Cauchy 142 Fiche 50 Comparaison des suites réelles 144 Focus Suites et systèmes dynamiques – L’attracteur de Hénon 148 Séries 149 Fiche 51 Séries 149 Fiche 52 Quelques séries remarquables 151 Fiche 53 Critères de convergence pour les séries à termes positifs 153 vi Table des matières Intégrales 155 Fiche 54 Qu’est-ce qu’une intégrale ? 155 Fiche 55 Intégrale d’une fonction en escaliers 157 Fiche 56 Intégrale d’une fonction continue par morceaux 162 Fiche 57 Calcul intégral 168 Fiche 58 Primitives de fractions rationnelles 174 Fiche 59 Calcul approché d’intégrales 176 Focus Intégrale de Riemann vs intégrale de Lebesgue 183 Fiche 60 Intégrales généralisées 185 Fiche 61 Intégrales doubles sur un pavé du plan R2 193 Exercices d’entraînement 195 Partie 2 Algèbre Le plan complexe – Les nombres complexes 206 Fiche 62 Le corps des nombres complexes 206 Focus Les nombres complexes 209 Fiche 63 Représentation géométrique des nombres complexes 211 Fiche 64 Inversion des nombres complexes 214 Fiche 65 Propriétés fondamentales des nombres complexes 216 Fiche 66 Complément : les polynômes de Tchebychev 218 Fiche 67 Racines ni` emes de l’unité, racines ni` emes complexes 221 Fiche 68 Factorisation des polynômes dans le corps C 224 Fiche 69 Fractions rationnelles et décomposition en éléments simples 229 Fiche 70 Transformations du plan : translations, homothéties 240 Fiche 71 Transformations du plan : rotations 242 Fiche 72 Transformations du plan : similitudes 244 Focus Transformations complexes, fractales, et représentations de la nature 248 Focus L’origine des matrices 250 Matrices 252 Fiche 73 Matrices de taille 2 × 2 252 Fiche 74 Déterminant de matrices de taille 2 × 2 254 Fiche 75 Matrices de taille 3 × 3 256 Fiche 76 Déterminant de matrices de taille 3 × 3 259 Fiche 77 Matrices de taille m × n 262 Fiche 78 Opérations sur les matrices 264 Fiche 79 Matrices remarquables 266 Fiche 80 Introduction aux déterminants de matrices de taille n × n 270 Fiche 81 Inversion des matrices carrées 272 Focus Les matrices et leurs applications 276 Fiche 82 Systèmes linéaires 278 © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. vii Focus Matrices, systèmes linéaires et chimie 281 Fiche 83 Vecteurs 282 Fiche 84 Barycentres 286 Fiche 85 Droites, plans 290 Fiche 86 Produit scalaire 293 Focus Produit scalaire, espaces fonctionnels et calcul numérique 297 Fiche 87 Produit vectoriel 298 Fiche 88 Aires et volumes 300 Focus Géométrie euclidienne – ou non ? Encore des matrices ! 302 Transformations linéaires du plan 304 Fiche 89 Bases et transformations linéaires du plan 304 Fiche 90 Changement de base en dimension 2, et déterminant d’une application linéaire 308 Fiche 91 Conjugaison – Matrices semblables de taille 2 × 2 310 Fiche 92 Opérateurs orthogonaux en dimension 2 312 Fiche 93 Rotations vectorielles du plan 314 Transformations linéaires de l’espace 317 Fiche 94 Bases de l’espace R3 317 Fiche 95 Transformations linéaires de l’espace R3 318 Fiche 96 Changement de base en dimension 3 322 Fiche 97 Conjugaison – Matrices semblables de taille 3 × 3 324 Fiche 98 Opérateurs orthogonaux de l’espace R3 326 Fiche 99 Rotations vectorielles de l’espace R3 328 L’espace Rn 330 Fiche 100 Vecteurs en dimension n, n ⩾2 330 Fiche 101 Espace engendré par une famille de vecteurs Sous-espaces vectoriels de Rn 332 Fiche 102 Transformations linéaires de l’espace Rn 335 Fiche 103 Changement de base 339 Fiche 104 Conjugaison – Matrices semblables de taille n × n 341 Fiche 105 Réduction des matrices carrées 343 Focus Groupe spécial orthogonal et cristallographie 347 Focus Diagonalisation – La toupie de Lagrange (et de Michèle Audin) 349 Espaces vectoriels 350 Fiche 106 Les espaces vectoriels 350 Fiche 107 Sous-espaces vectoriels 354 Fiche 108 Somme de sous-espaces vectoriels 356 Fiche 109 Projecteurs, symétries 357 Exercices d’entraînement 359 viii Table des matières Partie 3 Probabilités Analyse Combinatoire 368 Fiche 110 Factorielle 368 Fiche 111 Arrangements 370 Fiche 112 Combinaisons 372 Espaces probabilisés 376 Fiche 113 Espaces probabilisés 376 Focus Les jeux de hasard 380 Focus Lancer de dés 382 Fiche 114 Conditionnement 384 Fiche 115 Indépendance 388 Probabilités discrètes 389 Fiche 116 Variable aléatoire discrète et loi associée 389 Fiche 117 Fonction de répartition 392 Fiche 118 La loi de Bernoulli, de paramètre p ∈[0, 1] 394 Fiche 119 La loi uniforme (sur un ensemble de réels) 396 Fiche 120 La loi binomiale 397 Fiche 121 La loi géométrique 400 Fiche 122 La loi binomiale négative 404 Focus Les tortues des Galápagos 406 Fiche 123 La loi hypergéométrique 409 Fiche 124 La loi de Poisson 412 Fiche 125 Somme de variables aléatoires discrètes 416 Fiche 126 Espérance 419 Fiche 127 Moment d’ordre r, r ∈N⋆, d’une variable aléatoire discrète 425 Focus Application de l’inégalité de Markov 427 Focus Variations de température 429 Fiche 128 Variance, écart-type 431 Focus Inégalité de Tchebychev et concentration de mesure 439 Fiche 129 Covariance 440 Fiche 130 Couples de variables aléatoires discrètes 445 Fiche 131 Un théorème limite pour les variables aléatoires discrètes : la loi des grands nombres 447 Probabilités continues 449 Fiche 132 Du discret au continu : variables aléatoires continues 449 Fiche 133 Variables à densité 450 Fiche 134 Lois uniformes 457 Focus Le coût d’un déminage avec la loi uniforme 460 Fiche 135 Lois exponentielles 461 Fiche 136 Lois normales (ou gaussiennes) 465 Fiche 137 Couples de variables aléatoires réelles 472 © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. ix Fiche 138 Quelques résultats concernant la somme de variables aléatoires continues 475 Fiche 139 Lois Gamma 480 Focus Dans l’attente d’un nième client 487 Exercices d’entraînement 489 Annexes 493 Formulaire de trigonométrie 493 Dérivées usuelles 495 Dérivées des fonctions réciproques usuelles 496 Primitives usuelles 497 Limites usuelles des fonctions puissances 498 Rang d’une matrice 499 Bibliographie 500 Index 502 x Avant-propos Cet ouvrage est destiné aux uploads/Litterature/ feuilletage-1125-18.pdf