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Lycée Chebbi Gabès 08‐09 Devoir de synthèses n°1 4° Sc Exp1 Amorri Mongi Durée

Lycée Chebbi Gabès 08‐09 Devoir de synthèses n°1 4° Sc Exp1 Amorri Mongi Durée 2 heures Exercice n°1 :QCM (3points) Donner la ou les réponses justes : 1‐ Soient (un) et (vn) deux suites adjacentes .On pose L = lim et L' = lim n n n n u v →+∞ →+∞ .Alors on a : a‐ l'une est croissante, l'autre est décroissante et un − vn tend vers 0 quand n tend vers +∞ ; b‐ Lorsque (un) est croissante et (vn) est décroissante, alors pour tout n appartenant à ` , on a n n u v ≤ et L ≤ L’ c‐ Lorsque (un) est croissante et (vn) est décroissante, alors pour tout n appartenant à ` , on a n n u v ≥ et L ≥ L’ d‐ Lorsque (un) est décroissante et (vn) est croissante, alors pour tout n appartenant à ` , on a n n u v ≥ et L = L 2‐ Soit f une fonction dérivable sur [0,1] a‐ Si = (0) 0 f et = (1) 1 f , alors pour tout ∈ x [0 ; 1], ≥ '( ) 0 f x . b‐ Si = (0) 0 f et = (1) 1 f , alors il existe ∈ x [0 ; 1],tel que '( ) 1 f x = . c‐ Si (0) 1 et (1) 1 f f = = , alors il existe ∈ x [0 ; 1],tel que '( ) 0 f x = . d‐ Si (0) 0 et (1) 1 f f = = , alors pour tout ∈ x [0 ; 1], '( ) 0 f x = . [ [ 1 3- Soit la bijection f: 0, 1, ,x 2 sin x π ⎤ ⎤→ +∞ ⎥ ⎥ ⎦ ⎦ 6 a‐ 1(2) 6 f π − = ; b‐ 1(2) 6 f π − = − ; c‐ 1(2)= 2 f π − d‐ 1 1 1 est dérivable en 2 et (f )'(2) 3 f − − = − Exercice n°2 :(5points) Soit la suite (Un) définie sur ` par 0 0 2 , 1 1 u n u un n = ⎧ ⎪ ⎨ ∀∈ = + ⎪ + ⎩ ` 1‐ a‐ Montrer que la suite (Un) est croissante b‐ Montrer que *, 1 n n u n n ∀∈ −≤ ≤ ` .Calculer limite de 2‐ Soit la suite (Vn) définie sur * ` par vn=un+1‐un a‐ Vérifier que vn= 1 1 u un n + + b‐ Montrer que 1 1 * 2 2 1 n vn u un n ∀∈ ≤ ≤ + ` En déduire que (vn) est convergente et calculer sa limite 30) On pose Sn= 2 1 1 1 1 ......... n u u u + + + a) Montrer que * n ∀∈` Sn n n ≥ ; En déduire la limite de Sn (on pourra utiliser 1‐b) b) Prouver que * n ∀∈` , 1 1 1 ( 1) 1 2 2 S u S n n n + − ≤ ≤+ Calculer la limite de un Sn Exercice n°3 :(6points) I‐ Dans l’ensemble ^ des nombres complexes on considère l’équation ( ) Eθ : ( ) 3 2 2 2 3 (3 ) 1 0 i i z iz e z i e θ θ − − + + + = 1‐ Vérifier que i est solution de ( ) Eθ 2‐ Résoudre alors l’équation ( ) Eθ II‐Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé ( ) , , O u v G G .On considère les points I , 1 2 et M M d’affixes respectives i , 1 z = i+ i e θ et 2 z = i‐ i e θ θ ∈ , 2 2 π π ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1‐ a‐ Montrer que I est le milieu du segment [ 1 2 M M ] b –Déterminer l’ensemble ( E1) des points M1 lorsque θ varie dans , 2 2 π π ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .En déduire l’ensemble (E2) des points M2.Construire ( E1) et (E2). 2‐ a‐ Montrer que si 1 2 OM OM = alors θ =0 b‐Pour θ =0, écrire 1 z , 2 z et 1 2 z z sous forme exponentielle. En déduire la nature du triangle 1 2 OM M Exercice n°4 : (6points) Soit la fonction f définie sur \ par 2 1 ( ) 1 2 1 x f x x ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ .( C f ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé . 1‐ a‐ Montrer que f est dérivable sur\ et calculer '( ) f x b‐Montrer que : 1 , '( ) 2 x f x ∀∈ ≤ \ 2‐ a‐ Ecrire l’équation de la tangente (T) à ( C f ) au point d’abscisse 0. b‐Soit ( ) 1 ( ) ( ) 1 2 g x f x x = − − .Dresser le tableau de variation de g sur \ . c‐Calculer (0) g , déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x .En déduire les positions relatives de ( C f ) et (T) 3‐ Montrer que f réalise une bijection de \ sur un intervalle J que l’on précisera. 4‐ Montrer que l’équation ( ) f x x = admet une solution unique ן dans ] [ 1,0 − 5‐ Préciser les asymptotes de ( C f ).Tracer ( C f ) , (T) et ( C 1 f − ) dans le même repère. 6‐ Expliciter pour tout x de J 1( ) f x − . uploads/Litterature/ devoir-de-synthese-1-4eme-scexp-08-09.pdf