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Licence Sciences et Techniques L2 MATH & MASS M33 Analyse numérique Recueil d’e

Licence Sciences et Techniques L2 MATH & MASS M33 Analyse numérique Recueil d’exercices corrigés et aide-mémoire. Gloria Faccanoni i http://faccanoni.univ-tln.fr/enseignements.html Année 2013 – 2014 Dernière mise-à-jour Dimanche 29 septembre 2013 Ce fascicule est un support au cours d’analyse numérique en deuxième année d’une Licence de Mathématiques. Il aborde : la recherche de racines d’une fonction, l’interpolation, l’intégration numériques, l’intégration d’équations diffé- rentielles et la résolution de systèmes linéaires. Les applications se feront avec le langage Python dont la documentation et les sources peuvent être téléchargées à l’adresse http://www.python.org. Les notions supposées connues correspondent au programme des cours de Mathématiques (Analyse mathématique des fonctions réelles d’une variable réelle et Algèbre Linéaire) et Informatiques (Initiation à l’algorithmique et au langage Python) de la première année de Licence. L’objet de ce aide-mémoire est de proposer une explication succincte des concepts vu en cours. De nombreux livres, parfois très fournis, existent. Ici on a cherché, compte tenu des contraintes de volume horaire, des acquis des étudiants à la première année et des exigences pour la suite du cursus, à dégager les points clés permettant de structurer le travail personnel de l’étudiant voire de faciliter la lecture d’autres ouvrages. Ce polycopiée ne dispense pas des séances de cours et de TD ni de prendre des notes complémentaires. Il est d’ailleurs important de comprendre et apprendre le cours au fur et à mesure car on a très peu de temps et beaucoup de concepts nouveaux. Ce polycopié est là pour éviter un travail de copie qui empêche parfois de se concentrer sur les explications données oralement mais ce n’est pas un livre auto-sufﬁsant (il est loin d’être exhaustif) ! De plus, ne vous étonnez pas si vous découvrez des erreurs (merci de me les communiquer). On a inclus dans ce texte nombreux exercices corrigés. Ceux-ci, de difﬁculté variée, répondent à une double nécessitée. Il est important de jongler avec les différents concepts introduits en cours et même de faire certaines erreurs une fois pour bien identiﬁer les pièges. Les exercices permettent d’orienter les raisonnements vers d’autres domaines (physique, économie, etc.), cela aﬁn d’exhiber l’intérêt et l’omniprésence du calcul différentiel. Cependant, veuillez noter que vous n’obtiendrez pas grande chose si vous vous limitez à choisir un exercice, y réﬂéchir une minute et aller vite voir le début de la correction en passant tout le temps à essayer de comprendre la correction qui va paraitre incompréhensible. Pour que la méthode d’étude soit vraiment efﬁcace, il faut d’abord vraiment essayer de chercher la solution. En particulier, il faut avoir un papier brouillon à coté de soi et un crayon. La première étape consiste alors à traduire l’énoncé (pas le recopier), en particulier s’il est constitué de beaucoup de jargon mathématique. Ensuite il faut essayer de rapprocher les hypothèses de la conclusion souhaitée, et pour cela faire quelques calculs ou transformer les hypothèses pour appliquer un théorème dont on aura vériﬁer que les hypothèses sont bien satisfaite. C’est ici que l’intuition joue un grand rôle et il ne faut pas hésiter à remplir des pages pour s’apercevoir que l’idée qu’on a eu n’est pas la bonne. Elle pourra toujours resservir dans une autre situation. Quand ﬁnalement on pense tenir le bon bout, il faut rédiger soigneusement en s’interrogeant à chaque pas sur la validité (logique, mathématique) de ce qu’on a écrit. Si l’étape précédente ne donne rien, il faut chercher de l’aide (voir le début de la correction, en parler à un autre étudiant, etc.). Gloria FACCANONI IMATH Bâtiment U-318 T 0033 (0)4 94 14 23 81 Université du Sud Toulon-Var Avenue de l’université B gloria.faccanoni@univ-tln.fr 83957 LA GARDE - FRANCE i http://faccanoni.univ-tln.fr 2 Table des matières Notations 5 Introduction au calcul scientiﬁque 7 1. Résolution d’équations non linéaires 11 1.1. Étape x : localisation des zéros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Étape y : construction d’une suite convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1. Méthodes de dichotomie (ou bissection), de LAGRANGE (ou Regula falsi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2. Méthode de la sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.3. Méthodes de point ﬁxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2. Interpolation 53 2.1. Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.1.1. Interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2. Interpolation de LAGRANGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.2.1. Stabilité de l’interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.3. Polynôme d’HERMITE ou polynôme osculateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4. Splines : interpolation par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.4.1. Interpolation linéaire composite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3. Quadrature 79 3.1. Principes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2. Exemples de formules de quadrature interpolatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.3. Approximation de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4. Équations diﬀérentielles ordinaires 109 4.1. Schémas numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2. A-Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5. Systèmes linéaires 135 5.1. Systèmes mal conditionnés . . . . uploads/Litterature/ analyse-numerique-faccanoni.pdf