Chapitre 1. Les nombres réels Contenu 1. Introduction 2. Les réels 3. Conséquen

Chapitre 1. Les nombres réels Contenu 1. Introduction 2. Les réels 3. Conséquences de l’axiome de la borne supérieure 4. Induction mathématique 1 Introduction Il y a plus d’une façon d’introduire l’ensemble R des nombres réels. Dans ce cours, nous allons privilégier la méthode axiomatique : on postule l’existence d’un tel ensemble avec un nombre précis (14) de propriétés (axiomes) portant sur les aspects algébrique, d’ordre et topologique (analyse : limites). Ceci est résumé succintement dans la dé…nition suivante. Dé…nition 1 Le corps R des nombres réels est un corps commutatif ordonné satisfaisant à l’axiome de la borne supérieure. En d’autres termes, R véri…e les trois conditions suivantes : 1. R est un corps commutatif. Il existe une opération binaire interne (l’addition) + : R  R ! R (x; y) ! x + y qui en fait un groupe commutatif, et une opération binaire interne (la multiplication, notée
ou )
: R  R ! R (x; y) ! x
y qui fait de R = R n f0g un groupe commutatif. 2. R est un corps ordonné. Il existe une relation d’ordre total sur R, notée , telle que (a) (8c 2 R) a  b ) a + c  b + c (b) (8c 2 R+) a  b ) ac  bc 3. Toute partie non vide et majorée de R admet une plus petite borne supérieure : A  R; A 6= ;; A majorée ) sup A existe. Nous allons expliciter plus en détail ces notions dans la section suivante. 1 2 Les réels 2.1 Le corps des réels L’ensemble (R; +;
) (c’est-à-dire R muni des opérations addition et multiplication) véri…e les 9 pro- priétés suivantes (qui en font un corps commutatif). R1 Commutativité de l’addition (8x; y 2 R) x + y = y + x R2 Associativité de l’addition (8x; y; z 2 R) (x + y) + z = x + (y + z) R3 Existence d’un élément neutre pour l’addition. Il existe un élément 0 2 R tel que (8x 2 R) x + 0 = x R4 Existence d’un élément inverse pour l’addition (l’opposé). (8x 2 R) (9y 2 R) x + y = 0 L’élément y est noté x et on écrit x + (x) = x x = 0 Plus généralement, (8x; y 2 R), l’opération x + (y) est notée x y. Avec ces 4 propriétés, on dit que (R; +) est un groupe additif commutatif (ou abélien). R5 Commutativité de la multiplication (8x; y 2 R) xy = yx (on omet le point : x
y = xy). R6 Associativité de la multiplication (8x; y; z 2 R) (xy) z = x (yz) R7 Existence d’un élément neutre pour la multiplication. Il existe un élément 1 2 R = R n f0g tel que (8x 2 R) 1x = x R8 Existence d’un élément inverse pour la multiplication (l’inverse multiplicatif). (8x 2 R) (9y 2 R) xy = 1 L’élément y est noté x1 ou 1=x et on écrit x
1 x = xx1 = 1 Plus généralement, (8x 2 R) et (8y 2 R), l’opération xy1 est aussi notée x
1=y = x y : diviser x par y revient à multiplier x par l’inverse de y. Avec les 4 propriétés R5 à R8, on dit que (R;
) est un groupe multiplicatif commutatif (ou abélien). R9 Distributivité de la multiplication sur l’addition (8x; y; z 2 R) x (y + z) = xy + xz Exemple 1 (R; +;
) n’est pas le seul corps commutatif. Des exemples sont (Q; +;
), (C; +;
) ou Q p 2
; +;

où Q p 2
=  a + b p 2 : a; b 2 Q . 2 2.1.1 Exercices 1. L’élément neutre 0 est unique. 2. L’opposé de tout réel x est unique. 3. L’opposé de 0 est 0 : 0 = 0. 4. x + y = x ) y = 0 (on peut simpli…er). 5. L’équation algébrique a + x = b admet une solution unique x = b a dans R. 6. L’élément neutre 1 est unique. 7. Soit x 6= 0. Alors xy = x ) y = 1 (on peut simpli…er). 8. L’équation algébrique ax = b (a 6= 0) admet une solution unique x = b a dans R. 9. L’inverse multiplicatif de tout réel non nul x est unique. 10. L’élément 1 est son propre inverse : 11 = 1. 11. L’élément 0 n’a pas d’inverse multiplicatif. 12. x = (1) x pour tout x 2 R. 13. Soit x 6= 0 et y 6= 0. Alors xy 6= 0 et (xy)1 = x1y1, i.e. 1 xy = 1 x
1 y. 14. Si xy = 0 alors x = 0 ou y = 0. 15. Véri…er que Q p 2
; +;

est un corps commutatif (véri…e les axiomes R1 à R9). 3 2.2 Ordre total sur R Rappelons ce qu’est une relation sur un ensemble et en particulier une relation d’ordre total ou partiel. Dé…nition 2 Soit A et B deux ensembles. Une relation binaire R de A à B est un sous-ensemble du produit cartésien A  B. Si A = B, alors R  A  A est appelé une relation binaire sur A. Notation : aRb , (a; b) 2 R. On dit que a et b sont liés par la relation R. Exemple 2 La relation aRb ,“a est un diviseur de b” est une relation sur N. On utilise la notation a j b si a est un diviseur de b et a - b sinon. Ainsi, 2 j 4 et 2 - 3. Dé…nition 3 Relation d’ordre. Une relation binaire R sur un ensemble A est dite relation d’ordre si elle est : 1. ré‡exive : (8x 2 A) xRx. 2. transitive : (8x; y; z 2 A) xRy et yRz ) xRz. 3. antisymétrique : (8x; y 2 A) xRy et yRx ) x = y. Une relation d’ordre est souvent notée x  y. La relation x  y et x 6= y est notée x < y. Exemple 3 La relation de divisibilité ci-dessus est une relation d’ordre sur N. Dé…nition 4 Ordre total et ordre partiel. Une relation d’ordre  sur un ensemble A est dite totale si pour tous x et y dans A, une seule des relations suivantes est vraie (trichotomie) : x < y, x = y, y < x Dans le troisième cas (y < x) on écrit aussi x > y. Si A est muni d’une relation d’ordre total, on dit que A est totalement ordonné. Sinon, il est partiellement ordonné. Exemple 4 (N; j) est partiellement ordonné (N = f1; 2; 3; : : :g). Ceci nous mène aux axiomes suivants . R10 R est muni d’une relation d’ordre total, notée  (si x  y et x 6= y, on écrit x < y): Plus formellement, (8x; y 2 R), exactement une des trois propriétés suivantes est vraie (trichotomie) : x < y ou x = y ou y < x Noter qu’on écrit aussi y > x pour dire x < y (idem pour ). R11 (8x; y 2 R) x < y et y < z ) x < z (transitivité). R12 (8x; y 2 R) x < y ) x + z < y + z (compatibilité avec l’addition). R13 (8x; y 2 R) x > 0 et y > 0 ) xy > 0 (compatibilité avec la multiplication). Muni des axiomes R1 à R13, (R; +;
; ) est dit corps totalement ordonné. Exemple 5 (Q; +;
; ) est un corps totalement ordonné. 4 2.2.1 Conséquences des axiomes d’ordre On a les conséquences immédiates suivantes. Théorème 1 Soit x; y; z 2 R. Alors 1. Les relations x  y, 0  y x, y  x et x y  0 sont équivalentes. 2. 0 < 1. 3. Si 0 < x < y alors 0 < 1 y < 1 x. 4. Si x < y et z < 0, alors yz < xz. 5. x2  0. Preuve. 1. En ajoutant x aux deux membres de x  y, on obtient xx  y x, ce qui donne 0  y x. En ajoutant y aux deux membres de 0  y x, on obtient y  y + y x ) y  x. Notons que x y  0 s’obtient en ajoutant y aux deux membres de y  x. 2. L’axiome R10 (trichotomie) nous dit que l’on doit avoir l’une des trois situations suivantes : 0 = 1 (exclue par l’axiome R7), ou 0 < 1 ou 0 > 1. Examinons le cas 0 > 1. De la conséquence 1. ci-dessus, on a 0 > 1 , 0 < 1. uploads/Litterature/ 1-chap1-lesnombresreels.pdf

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• Publié le Jui 29, 2022
• Catégorie Literature / Litté...
• Langue French
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