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Université d’Orléans U.F.R. Faculté des Sciences Licence de Physique Analyse nu

Université d’Orléans U.F.R. Faculté des Sciences Licence de Physique Analyse numérique pour les sciences physiques Jean-Philippe Grivet, 2005 Chapitre 1 Représentation graphique de fonctions L’une des activités les plus fréquentes en informatique scientiﬁque consiste à représenter l’allure d’une fonction à l’aide d’un dessin, et de très nombreux logiciels peuvent répondre à cette attente légitime. On peut distinguer deux cas un peu diﬀérents en pratique : la fonction est déﬁnie par une ou des formules, ou elle est représentée par un tableau de valeurs. Si le premier cas ne présente aucune diﬃculté, le deuxième demande que l’on sache faire lire un ﬁchier de données par le logiciel considéré, à moins de devoir entrer toutes les valeurs au clavier. J’explique la marche à suivre, pour quelques logiciels pratiques et faciles d’accès, dans les paragraphes qui suivent. 1.1 Scilab Scilab est un logiciel gratuit, très puissant et disponible sur le site de l’INRIA. On peut l’utiliser de façon interactive (comme une calculette) ou préparer, à l’aide d’un éditeur de texte (par exemple celui qui est incorporé dans Scilab depuis la version 2.7), un programme que l’on fera exécuter ensuite. Supposons que je souhaite tracer une sinusoïde amortie, répondant à l’équation y = exp(−αx) cos(βx), pour α = 0.3, β = 2 et 0 ≤x ≤10. Les instructions suivantes conviennent. deff("y = f(x)", "y = exp(-alfa*x)*cos(beta*x)") alfa = 0.4; beta = 0.4; x = 0:0.1:10; fplot2d(x,f) Le résultat apparaît sur la ﬁgure. Ce n’est pas ici le lieu de détailler la syntaxe de Scilab, qui est très bien expliquée dans l’aide en ligne, dans les manuels et sur divers sites (voir les références en ﬁn de chapitre) ; je me contenterais de quelques indications. La première ligne déﬁnit une fonction f laquelle dépend d’un seul argument, x ; y est une variable interne à la déﬁnition et ne joue aucun rôle dans la suite. Une déﬁnition de ce genre, dite «en-ligne», ne doit pas occuper plus d’une ligne ! Les points-virgules indiquent à Scilab qu’il ne doit pas aﬃcher à l’écran les valeurs qui viennent d’être déﬁnies. La troisième ligne initialise un vecteur, x, dont les coordonnées sont x1 = 0, x2 = 0.1, x3 = 0.2, . . . , x101 = 1. Vous pouvez constater qu’il se passe pas mal de choses «en douce» lors de l’appel de la fonction fplot. Chaque composante du vecteur x est substituée à l’argument formel x de la «fonction externe» f, la valeur de la fonction est calculée et constitue 1 An_Num 2 Fig. 1.1 – Une sinusoïde amortie représentée par Scilab 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 une composante d’un vecteur. Le programme interpole ensuite entre composantes successives pour produire un tracé lisse. Vous pouvez déﬁnir vous-même complètement la suite de points à représenter, comme ceci alfa = 0.4; beta = 0.4; x = 0:0.1:10; y = exp(-alfa*x).*cos(beta*x); plot2d(x,y) Ici, y est un vecteur que Scilab calcule composante par composante à partir des coordonnées du vecteur x. Faites bien attention à l’écriture «.*» (point étoile) qui réalise cette multiplication composante par composante. Sans le point, y n’est que le produit scalaire (une seule valeur) des vecteurs exp(-alfa*x) et cos(beta*x). Les fonctions fplot2d ou plot2d admettent de nombreux paramètres qui permettent de mo- diﬁer le domaine de variation des coordonnées, la couleur et l’épaisseur des traits, etc. . . Comment procéder pour tracer la courbe correspondant à un ﬁchier de valeurs numériques ? C’est une opération très semblable à la précédente. Je suppose que le ﬁchier D:/an_poly/ex112.dta contient les données qui m’intéressent, à raison de trois par ligne, ces nombres étant séparés par des espaces ou une tabulation : 1.0 -2.2 .831 -6 123.456 -3 3.1415 2.718281828 -0.3183098 Je procède alors comme suit M = read("D:/an_poly/ex112.dta", -1,3); plot2d(M(:,1),M(:,3),-3) Scilab admet aussi bien les obliques que les contre-obliques dans les noms de ﬁchiers. À la première ligne, je lis le contenu du ﬁchier et je range les valeurs dans la matrice M. La valeur -1 oblige Scilab à lire toutes les lignes de D:/an_poly/ex112.dta quelque soit leur nombre et le point-virgule est là pour l’empêcher d’aﬃcher ces valeurs à l’écran. Je représente ensuite graphiquement tous les nombres de la troisième colonne de M (ordonnées) en fonction des valeurs correspondantes de la première colonne (abscisses). Sauf indication contraire, Scilab relie les points par de segments. Pour empêcher cela, j’ai indiqué un «style» de trait négatif (-3 ici) ; Scilab représente alors des points isolés à l’aide d’un symbole. Pour imprimer, on utilise l’option «imprimer» du menu déroulant «ﬁchier» dans la fenêtre qui contient le graphe. An_Num 3 Fig. 1.2 – Représentation d’une série de valeurs sous Scilab −7 −5 −3 −1 1 3 5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 ⊕ ⊕ ⊕ 1.2 Maple Le logiciel Maple est orienté vers le calcul algébrique ; il possède cependant des possibilités graphiques extrêmement puisssantes, dont voici un tout petit aperçu. Le dialogue suivant permet de tracer une sinusoïde amortie. > y := exp(-alpha*x)*cos(beta*x); y := e(−α x) cos(β x) > y1 := subs(alpha = 0.3, beta = 4,y); y1 := e(−.3 x) cos(4 x) > plot(y1,x = 0..10); Fig. 1.3 – Tracé d’une sinusoïde amortie par Maple –3 –2.5 –2 –1.5 –1 –0.5 0 0.5 –6 –4 –2 2 J’aurais pu me contenter de l’instruction unique > plot( exp(-0.3*x)*cos(4*x),x = 0..10) ; mais la version précédente me permet de déﬁnir une quantité y dépendant de deux paramètres dont je peux modiﬁer la valeur aisément. Le symbole % signiﬁe pour Maple «expression précédente» (c’est ¨ qui joue ce rôle pour la version V4). An_Num 4 La lecture d’un tableau de valeurs externe se fait par l’instruction «readdata» qui admet deux paramètres obligatoires, le nom du ﬁchier et le nombre de colonnes. On peut aussi préciser s’il s’agit d’entiers ou de nombres fractionnaires. La manoeuvre est simple dans le cas d’un tableau à deux colonnes, comme le montre l’exemple ci-dessous. J’ai créé le ﬁchier dont le nom complet est \"D:\an_poly\ex122.dta\" et dont le contenu est -2 -3.1 -1.1 -.99 0 1 2.222 3.1415 4 5 Je trace le graphe correspondant à l’aide des instructions > M := readdata("C:/an_poly/ex122.dta",2); M := [[−2., −3.1], [−1.1, −.99], [0., 1.], [2.222, 3.1415], [4., 5.]] > plot(M); Fig. 1.4 – Tracé d’une suite de points par Maple –2 2 4 –2 –1 1 2 3 4 Les nombres entiers ont été transformés en nombres fractionnaires. Remarquez aussi que les contre-obliques du nom de ﬁchier sont remplacées par des obliques sous Maple. Il est un peu plus compliqué d’extraire d’un ﬁchier une colonne d’abscisses et une colonne d’ordonnées. Il faut procéder comme ceci. Le ﬁchier dont le nom DOS complet est D:\an_poly\ex123.dta contient les valeurs : 1.0 -2.2 .831 -6 123.456 -3 3.1415 2.718281828 -0.3183098 An_Num 5 L’instruction > M := readdata("D:/an_poly/ex123.dta",3); lira ces données et produira le résultat M := [[1.0, -2.2, .831],[-6., 123.456, -3.],[3.1415, 2.718281828, -.3183098]] Maple considère M comme une liste de listes, chaque liste représentant une ligne. Le code ci-dessous extrait les nombres de la première colonne (abscisses) et ceux de la troisième colonne(ordonnées), par exemple, puis reporte les points sur un graphique. > restart; > with(plots): > M := readdata("C:/an_poly/ex112.dta",3); M := [[1.0, −2.2, .831], [−16., 123.456, −3.], [3.1415, 2.718281828, −.3183098]] > points := [seq([M[i,1],M[i,3]],i=1..3)]; points := [[1.0, .831], [−16., −3.], [3.1415, −.3183098]] > plot(points,style=POINT,symbol=BOX, thickness=2,symbolsize=20); Fig. 1.5 – Tracé d’une suite de points par Maple –3 –2.5 –2 –1.5 –1 –0.5 0 0.5 –6 –4 –2 2 1.3 gnuplot gnuplot est un autre logiciel gratuit et puissant, disponible pour tous les systèmes d’exploita- tion ; il a l’avantage d’être assez peu encombrant. Il possède un analyseur syntactique qui connaît la plupart des fonctions élémentaires. Il est très facile d’accomplir avec gnuplot les deux tâches qui me servent d’exemples depuis le début. Pour tracer une fonction déﬁnie par une formule : > alfa = 0.3; beta = 4; > plot [0:10] exp(-alfa*x)*cos(beta*x); La fonction «plot» admet comme premier paramètre l’intervalle de variation de la variable indé- pendante, laquelle doit s’appeler x, par convention. Pour aﬃcher un fonction déﬁnie comme une suite de valeurs (x, y) : > plot [-2.5:0] [-3.5:1.5] "D:/an_poly/ex142.dta" Ici encore, les obliques remplacent les contre-obliques de MS-DOS ; j’ai indiqué l’intervalle de variation pour x et pour y. An_Num 6 Comme gnuplot possède de très nombreuses options, qu’il serait malcommode de préciser à chaque tracé, il est recommandé d’utiliser un ﬁchier de commande. On peut pour cela créer, à la main, un tracé simple puis sauvegarder toutes les options en cours dans un ﬁchier par la commande save <nom_de_fichier>. Ce ﬁchier texte est lisible et modiﬁable dans n’importe quel éditeur ; on peut donc, à loisir, ajouter ou modiﬁer des paramètres. On exécute ensuite le ﬁchier modiﬁé par la commande load <nom_de_fichier>. La méthode la plus directe pour imprimer sous Windows consiste à cliquer sur l’icone située en haut à gauche du graphe, puis à choisir options/print. 1.4 Excel Tous les tableurs comportent uploads/Litterature/ analyse-numerique-french.pdf