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1 Ass vie Devolder/Gilles 1 ASSURANCE VIE UCL Année académique 2009-2010 Profes

1 Ass vie Devolder/Gilles 1 ASSURANCE VIE UCL Année académique 2009-2010 Professeurs Devolder / Gilles Institut des sciences actuarielles Ass vie Devolder/Gilles 2 Plan du cours Partie 1. La mortalité Partie 2. Les contrats d’assurance vie classiques Partie 3. Les contrats de nouvelle génération 2 Ass vie Devolder/Gilles 3 PREMIERE PARTIE La Mortalité « La statistique a démontré que la mortalité dans l’armée augmente sensiblement en temps de guerre … ». ( Alphonse ALLAIS) Ass vie Devolder/Gilles 4 Première Partie: LA MORTALITE 1. Tables de mortalité brutes 2. Probabilités de survie et de décès 3. Espérance de vie 4. Taux instantané de mortalité 5. Tables de Gompertz et de Makeham 6. Probabilités sur 2 têtes 7. Tables règlementaires belges 8. Ajustement de tables 9. En route vers des tables prospectives 10. Risques diversifiables et non diversifiables 3 Ass vie Devolder/Gilles 5 1. Tables de mortalité brutes L’assurance vie s’intéresse aux risques liés à la durée de la vie humaine. - J’ai aujourd’hui 35 ans ; quelle est la probabilité que je sois encore en vie à ma retraite à 65 ans ? - J’ai 50 ans ; mon épouse en a 30 .Quelle est la probabilité qu’elle décède avant moi ? En vue de calculer pratiquement ces probabilités, les actuaires utilisent comme outil des tables de mortalité Ass vie Devolder/Gilles 6 1. Tables de mortalité brutes Principe : à partir d’une cohorte initiale à la naissance on suit année après année le nombre de survivants ) ! ! convention par ( 000 . 000 . 1 l x age ' l à survivants de nombre l 0 x = = Age ultime : premier âge où plus de survivants 0 l = ω (par exemple 120 ans) 4 Ass vie Devolder/Gilles 7 1. Tables de mortalité brutes EXEMPLE: 750.022 71 767.741 70 965.973 40 994.002 10 999.415 1 1.000.000 0 Table age Ass vie Devolder/Gilles 8 1. Tables de mortalité brutes La fonction l est positive et décroissante. La table donne les valeurs de l pour des âges entiers . Pour construire ces tables ,on distingue : - les tables de mortalité brutes : résultant de l’observation ( recensement à un moment) ( par exemple INS 2000) - les tables de mortalité ajustées : table ajustée analytiquement - les tables d’expérience : tables tenant compte de l’expérience d’un assureur 5 Ass vie Devolder/Gilles 9 1. Tables de mortalité brutes On distingue aussi : -les tables de mortalité périodiques : suppose que la mortalité va rester stable dans le futur - les tables de mortalité prospectives : intègre une évolution future attendue de la mortalité Dans le suite de ce cours on travaillera avec des tables périodiques. Ass vie Devolder/Gilles 10 1. Tables de mortalité brutes Nombre de décès à l’âge x : 1 x x x l l d + − = EXEMPLE: 719 . 17 d 022 . 750 l 741 . 767 l 70 71 70 = = = 6 Ass vie Devolder/Gilles 11 2. Probabilités de survie et décès - Probabilité annuelle de décès - quotient de mortalité Probabilité étant en vie à l’âge x de décéder dans l’année x 1 x x x x x l l l l d q + − = = EXEMPLE : probabilité à 70 ans de décéder dans l’année 023 . 0 741 . 767 719 . 17 q70 = = Ass vie Devolder/Gilles 12 2. Probabilités de survie et décès Les principaux facteurs explicatifs des quotients de mortalité sont : - l ’âge - le sexe - l’époque - le pays ( problématique de la segmentation versus la discrimination) 7 Ass vie Devolder/Gilles 13 2. Probabilités de survie et décès EXEMPLE ( Belgique) : tables INS: quotients de mortalité 0.0894 0.229 0.136 0.228 85 0.0083 0.032 0.017 0.042 65 0.0029 0.012 0.005 0.018 50 0.0002 0.006 0.001 0.006 20 F2000 F1880 1890 H2000 H1880 1890 x Ass vie Devolder/Gilles 14 2. Probabilités de survie et décès Probabilité annuelle de survie Probabilité étant en vie à l’âge x d’être encore en vie à l’âge x+1 x x 1 x x q 1 l l p − = = + EXEMPLE: probabilité à 70 ans d’atteindre 71 ans 977 . 0 741 . 767 022 . 750 p70 = = 8 Ass vie Devolder/Gilles 15 2. Probabilités de survie et décès Probabilité de survie dans n années : Probabilité étant en vie à l’âge x d’être encore en vie à l’âge x+n ( ou de décèder après l’âge x+n) 1 n x 2 x 1 x x x n x x n p ... p p p l l p − + + + + = = EXEMPLE: probabilité à 40 ans d’atteindre 70 ans 795 . 0 973 . 965 741 . 767 p40 30 = = Ass vie Devolder/Gilles 16 2. Probabilités de survie et décès Probabilité de décès dans les n années Probabilité étant en vie à l’âge x de décéder avant l’âge x+n x n x n x x x n p 1 l l l q − = − = + EXEMPLE : probabilité à 40 ans de décéder avant 70 ans 205 . 0 973 . 965 741 . 767 973 . 965 q40 30 = − = 9 Ass vie Devolder/Gilles 17 2. Probabilités de survie et décès Probabilité de décès dans n années Probabilité étant en vie à l’âge x de décéder dans n années entre les âges x+n et x+n+1 n x x n x 1 n x n x x n q p l l l q + + + + = − = EXEMPLE : probabilité à 40 ans de décéder entre 70 et 71 ans 018 . 0 973 . 965 022 . 750 741 . 767 q40 30 = − = Ass vie Devolder/Gilles 18 3. Espérance de vie Définition de l’espérance de vie à l’âge x : Moyenne à l’âge x du nombre d’années restant à vivre Espérance de vie abrégée : ( décès en début d’année): ∑ ∑ − ω = − ω = + = = x 1 t x 1 t x t x x t x l d t q t e Espérance de vie complète : ( décès en milieu d’année): 2 1 e e x x 0 + = 10 Ass vie Devolder/Gilles 19 3. Espérance de vie Autre forme de l’espérance de vie : ∑ − ω = = x 1 t x t x p e Dém. : ... p p p ...) l l l ( l 1 ...) l 3 l 2 l 2 l l ( l 1 l l l t l d t e x 3 x 2 x 3 x 2 x 1 x x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x x t t x 1 t x t x x t x x + + + = + + + = + − + − = − = = + + + + + + + + + + + + ∑ ∑ Ass vie Devolder/Gilles 20 3. Espérance de vie Exemples d’espérance de vie : ( INS – Belgique) 20,1 57,2 81,4 F2000 11,6 39,9 46,6 F1880 15,9 51,2 75,1 H2000 10,6 37,3 43,4 H1880 À 65 ans À 25 ans À 0 ans 11 Ass vie Devolder/Gilles 21 3. Espérance de vie Expression en fonction de la variable aléatoire « durée de vie future » T(x)= variable aléatoire = durée de vie future d’un individu d’âge x x+T(x)= âge au décès L’espérance de vie est l’espérance mathématique de cette variable aléatoire. Ass vie Devolder/Gilles 22 3. Espérance de vie Relations d’équivalence : [ ] ) k ) x ( T ( P p 2 1 e )) x ( T ( E e ) ) x ( T ( E e x k x x 0 x > = + ≈ = = 12 Ass vie Devolder/Gilles 23 4. Taux instantané de mortalité La mortalité est un phénomène continu dans le temps Passer à une écriture en temps continu : Quotients de mortalités sur un intervalle : (0 <h <1) La fonction x l est supposée continue et dérivable [ ] R , 0 x ⊂ ω ∈ 0 h si 0 l l l q x h x x x h → → − = + (!!! Approximation !!! normalement à valeurs entières!) Ass vie Devolder/Gilles 24 4. Taux instantané de mortalité Si la fonction l est dérivable : mortalité de é tan tan ins taux l ln dx d l dx d l 1 h l l l 1 lim q h 1 lim x x x x h x x x 0 h x h 0 h = µ = − = − = − = + → → 13 Ass vie Devolder/Gilles 25 4. Taux instantané de mortalité Relation entre probabilité de survie et taux instantané de mortalité : [ ] x n x n x x n x n 0 t uploads/Litterature/ assurance-vie-ucl-2009-2010.pdf