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Chapitre 11 Probabilités Sommaire 11.1 Vocabulaire des ensembles . . . . . . .

Chapitre 11 Probabilités Sommaire 11.1 Vocabulaire des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 11.2 Expériences aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 11.2.1 Issues, univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 11.2.2 Évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 11.3 Loi de probabilité sur un univers Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 11.3.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 11.3.2 Cas particulier : l’équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 11.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 11.1 Vocabulaire des ensembles Déﬁnition 11.1 (Intersection). L’intersection de deux en- sembles A et B est l’ensemble des éléments qui sont communs à A et B. On la note A ∩B. A B × e Ainsi e ∈A ∩B signiﬁe e ∈A et e ∈B. Remarque. Lorsque A ∩B = ∅, on dit que les ensembles A et B sont disjoints. Déﬁnition 11.2 (Réunion). La réunion de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments qui sont dans A ou dans B. On la note A ∪B. A B × e Ainsi e ∈A ∪B signiﬁe e ∈A ou e ∈B. Déﬁnition 11.3 (Inclusion). On dit qu’un ensemble A est inclus dans un ensemble B si tous les éléments de A sont des éléments de B. On note alors A ⊂B (« A inclus dans B ») ou B ⊃A (« B contient A »). A B On dit alors que A est une partie de B ou que A est un sous-ensemble de B. 103 11.2 Expériences aléatoires Seconde Remarque. ∅(dite partie vide ou ensemble vide) et E (dite partie pleine) sont toujours des parties de E. On notera P (E) l’ensemble de toutes les parties de E. Déﬁnition 11.4 (Complémentaire). Soit E un ensemble et A une partie de E. Le complémentaire de A dans E est l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A. On le note A. A E A Remarque. A ∪A = E et A ∩A = ∅. Déﬁnition 11.5. Des parties A1, A2, ..., Ap d’un ensemble E constituent une partition de E si elles sont deux à deux dis- jointes et si leur réunion est E. A1 A2 A3 A4 ... Ap E Exemple. Au Lycée Dupuy de Lôme, en pre-bac, les élèves sont en Seconde, Première ou Terminale. Ces trois parties réalisent une partition de l’ensemble des élèves du Lycée (pre-bac) car aucun élève n’est commun à deux de ces parties et, réunies, elles forment l’ensemble des élèves du Lycée (pre- bac). Déﬁnition 11.6 (Cardinal). Le nombre d’éléments d’un ensemble ﬁni E est appelé cardinal de E. Ce nombre est noté Card(E). On convient que Card(∅)= 0. Remarque. La notion de cardinal ne s’applique pas aux ensembles inﬁnis (comme R). 11.2 Expériences aléatoires 11.2.1 Issues, univers Déﬁnition 11.7. Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs issues (ou résultats) pos- sibles et que l’on ne peut ni prévoir avec certitude, ni calculer laquelle de ces issues sera réalisée. L’ensemble de toutes les issues d’une expérience aléatoire est appelé univers (ou univers des pos- sibles). On note généralement cet ensemble Ω. À notre niveau, Ωsera toujours un ensemble ﬁni. Exemples. • On lance un dé et on regarde la face obtenue : Ω= {1; 2; 3; 4; 5; 6} • On lance un dé et on regarde si le numéro de la face obtenue est pair ou impair : Ω= {P ; I} • On lance une pièce de monnaie : Ω= {P ; F} • On lance deux pièces de monnaie, l’une après l’autre : Ω= {P1 ∩P2 ; P1 ∩F2; F1 ∩P2 ; F1 ∩F2} • On lance un javelot et on mesure la distance entre la ligne de lancer et le point de contact du javelot avec le sol Remarquons qu’une même expérience peut déboucher sur des univers différents suivant ce que l’on observe, comme le montrent les deux premiers exemples ci-dessus. 104 http://perpendiculaires.free.fr/ Seconde 11.2 Expériences aléatoires 11.2.2 Évènements Exemple : on lance deux dés et on considère la somme S obtenue. L’univers des possible est Ω= {2; 3; ··· ; 11; 12}. Le tableau 11.1 de la présente page déﬁnit le vocabulaire relatif aux évènements (en probabilité) : TABLE 11.1: Vocabulaire relatif aux évènements en probabilité Vocabulaire Signiﬁcation Illustration Évènement (notation quelconque) Ensemble de plusieurs issues Obtenir un nombre pair : A = {2; 4; 6; 8; 10; 12} Obtenir un multiple de trois : B = {3; 6; 9; 12} Obtenir une somme supérieure à 10 : C = {10; 11; 12} Obtenir une somme inférieure à 6 : D = {2; 3; 4; 5; 6} Évènement élémentaire (noté ω) L’une des issues de la situation étudiée (un élément de Ω) Obtenir 7 : ω = {7} Évènement impossible (noté ∅) C’est un évènement qui ne peut pas se produire « Obtenir 13 » est un évènement impos- sible. Évènement certain (noté Ω) C’est un évènement qui se produira obligatoirement « Obtenir entre 2 et 12 » est un évène- ment certain. Évènement « A et B » (noté A ∩B) Évènement constitué des issues communes aux 2 évènements A ∩B = {6; 12} Évènement « A ou B » (noté A ∪B) Évènement constitué de toutes les issues des deux évènements A ∪B = {2; 3; 4; 6; 8; 9; 10; 12} Évènements incompatibles (on note alors A ∩B = ∅) Ce sont des évènements qui n’ont pas d’éléments en commun C ∩D = ∅donc C et D sont incompa- tibles. Par contre, A et B ne le sont pas. Évènements contraires (l’évènement contraire de A se note A) Ce sont deux évènements incompatibles dont la réunion forme la totalité des issues (Ω) Ici, A représente l’évènement « obtenir une somme impaire ». On a alors : • A ∩A = ∅(ensembles disjoints) • A ∪A = Ω David ROBERT 105 11.3 Loi de probabilité sur un univers Ω Seconde 11.3 Loi de probabilité sur un univers Ω 11.3.1 Cas général Déﬁnition 11.8. Soit Ω= {ω1 ; ω2 ; ··· ; ωn} l’univers d’une expérience aléatoire. Déﬁnir une loi de probabilité P sur Ω, c’est associer, à chaque évènement élémentaire wi, des nombres pi ∈[0; 1], appelés probabilités, tels que : • p1 + p2 +···+ pn = 1; • la probabilité d’un évènement A, notée p(A), est la somme des probabilités pi des évène- ments élémentaires ωi qui constituent A. Remarque. On note aussi : pi = p({ωi}) = p(ωi). Décrire la loi de probabilité revient à indiquer, pour chaque évènement élémentaire, sa probabilité. On la présente généralement sous forme de tableau. Exemple. Soit un dé truqué dont les probabilités d’apparitions des faces sont données par le ta- bleau suivant : Issue ω 1 2 3 4 5 6 Probabilité p(ω) 0,05 0,05 0,1 0,1 0,2 inconnue 1. Calculer la probabilité de l’évènement A = « obtenir un résultat inférieur ou égal à 4 ». D’après la déﬁnition, p(A) = p(1)+ p(2)+ p(3)+ p(4) = 0,3 1. 2. Calculer la probabilité d’obtenir 6 : D’après la déﬁnition, p(1)+ p(2)+ p(3)+ p(4)+ p(5)+ p(6) = 1, donc p(6) = 0,5. Propriété 11.1. Soit A et B deux évènements de Ω, alors : • p(A ∪B) = p(A)+ p(B)−p(A ∩B); • p(A) = 1−p(A). Remarque. Comme, par déﬁnition, la probabilité de l’évènement certain est 1 alors la probabilité de l’évènement impossible, qui est son contraire, est 0. 11.3.2 Cas particulier : l’équiprobabilité Déﬁnition 11.9. Lorsque toutes les issues d’une expérience aléatoire ont même probabilité, on dit qu’il y a équiprobabilité ou que la loi uploads/Litterature/ chap-11-probabilites.pdf