Les suites Introduction L’étude des suites numériques a pour objet la compréhen

Les suites Introduction L’étude des suites numériques a pour objet la compréhension de l’évolution de séquences de nombres (réels, complexes ...). Ceci permet de modéliser de nombreux phénomènes de la vie quotidienne. Supposons par exemple que l’on place une somme S à un taux annuel de 10%. Si Sn représente la somme que l’on obtiendra après n années, on a S0 = S S1 = S × 1, 1 . . . Sn = S × (1, 1)n . Au bout de n = 10 ans, on possédera donc S10 = S ×(1,1)10 t S ×2,59 : la somme de départ avec les intérêts cumulés. 1. Définitions 1.1. Définition d’une suite Définition 1. • Une suite est une application u : N →R. • Pour n ∈N, on note u(n) par un et on l’appelle n-ème terme ou terme général de la suite. La suite est notée u, ou plus souvent (un)n∈N ou simplement (un). Il arrive fréquemment que l’on considère des suites définies à partir d’un certain entier naturel n0 plus grand que 0, on note alors (un)n⩾n0. Exemple 1. • (pn)n⩾0 est la suite de termes : 0, 1, p 2, p 3,. . . • ((−1)n)n⩾0 est la suite qui alterne +1, −1, +1, −1,. . . • La suite (Sn)n⩾0 de l’introduction définie par Sn = S × (1, 1)n, • (Fn)n⩾0 définie par F0 = 1, F1 = 1 et la relation Fn+2 = Fn+1 + Fn pour n ∈N (suite de Fibonacci). Les premiers termes sont 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . Chaque terme est la somme des deux précédents. • 1 n2  n⩾1. Les premiers termes sont 1, 1 4, 1 9, 1 16, . . . LES SUITES 1. DÉFINITIONS 2 1.2. Suite majorée, minorée, bornée Définition 2. Soit (un)n∈N une suite. • (un)n∈N est majorée si ∃M ∈R ∀n ∈N un ⩽M. • (un)n∈N est minorée si ∃m ∈R ∀n ∈N un ⩾m. • (un)n∈N est bornée si elle est majorée et minorée, ce qui revient à dire : ∃M ∈R ∀n ∈N |un| ⩽M. 0 1 2 M + + + + + + + m + + + + + + + 1.3. Suite croissante, décroissante Définition 3. Soit (un)n∈N une suite. • (un)n∈N est croissante si ∀n ∈N un+1 ⩾un. • (un)n∈N est strictement croissante si ∀n ∈N un+1 > un. • (un)n∈N est décroissante si ∀n ∈N un+1 ⩽un. • (un)n∈N est strictement décroissante si ∀n ∈N un+1 < un. • (un)n∈N est monotone si elle est croissante ou décroissante. • (un)n∈N est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante. Voici un exemple d’une suite croissante (mais pas strictement croissante) : + + + + + + + + Remarque. • (un)n∈N est croissante si et seulement si ∀n ∈N un+1 −un ⩾0. • Si (un)n∈N est une suite à termes strictement positifs, elle est croissante si et seulement si ∀n ∈N un+1 un ⩾1. Exemple 2. • La suite (Sn)n⩾0 de l’introduction est strictement croissante car Sn+1/Sn = 1,1 > 1. • La suite (un)n⩾1 définie par un = (−1)n/n pour n ⩾1, n’est ni croissante ni décroissante. Elle est majorée par 1/2 (borne atteinte en n = 2), minorée par −1 (borne atteinte en n = 1). LES SUITES 2. LIMITES 3 1 2 3 4 5 6 1 1 2 −1 2 -1 + + + + + + • La suite 1 n  n⩾1 est une suite strictement décroissante. Elle est majorée par 1 (borne atteinte pour n = 1), elle est minorée par 0 mais cette valeur n’est jamais atteinte. Mini-exercices. 1. La suite n n+1  n∈N est-elle monotone ? Est-elle bornée ? 2. La suite nsin(n!) 1+n2  n∈N est-elle bornée ? 3. Réécrire les phrases suivantes en une phrase mathématique. Écrire ensuite la négation mathématique de chacune des phrases. (a) La suite (un)n∈N est majorée par 7. (b) La suite (un)n∈N est constante. (c) La suite (un)n∈N est strictement positive à partir d’un certain rang. (d) (un)n∈N n’est pas strictement croissante. 4. Est-il vrai qu’une suite croissante est minorée ? Majorée ? 5. Soit x > 0 un réel. Montrer que la suite x n n!  n∈N est décroissante à partir d’un certain rang. 2. Limites 2.1. Introduction Pour un trajet au prix normal de 20 euros on achète une carte d’abonnement de train à 50 euros et on obtient chaque billet à 10 euros. La publicité affirme « 50% de réduction ». Qu’en pensez-vous ? Pour modéliser la situation en termes de suites, on pose pour un entier n ⩾1 : un = 20n vn = 10n + 50 un est le prix payé au bout de n achats au tarif plein, et vn celui au tarif réduit, y compris le prix de l’abonnement. La réduction est donc, en pourcentage : 1 −vn un = un −vn un = 10n −50 20n = 0,5 −5 2n − − − − → n→+∞0,5 Il faut donc une infinité de trajets pour arriver à 50% de réduction ! 50% + + + + + + + + LES SUITES 2. LIMITES 4 2.2. Limite finie, limite infinie Soit (un)n∈N une suite. Définition 4. La suite (un)n∈N a pour limite ℓ∈R si : pour tout ε > 0, il existe un entier naturel N tel que si n ⩾N alors |un −ℓ| ⩽ε : ∀ε > 0 ∃N ∈N ∀n ∈N (n ⩾N =⇒|un −ℓ| ⩽ε) On dit aussi que la suite (un)n∈N tend vers ℓ. Autrement dit : un est proche d’aussi près que l’on veut de ℓ, à partir d’un certain rang. ℓ ℓ+ ε ℓ−ε + + + + + + + + + + + + + N n un Définition 5. 1. La suite (un)n∈N tend vers +∞si : ∀A > 0 ∃N ∈N ∀n ∈N (n ⩾N =⇒un ⩾A) 2. La suite (un)n∈N tend vers −∞si : ∀A > 0 ∃N ∈N ∀n ∈N (n ⩾N =⇒un ⩽−A) Remarque. 1. On note limn→+∞un = ℓou parfois un − − − − → n→+∞ℓ, et de même pour une limite ±∞. 2. limn→+∞un = −∞⇐⇒limn→+∞−un = +∞. 3. On raccourcit souvent la phrase logique en : ∀ε > 0 ∃N ∈N (n ⩾N =⇒|un −ℓ| ⩽ε). Noter que N dépend de ε et qu’on ne peut pas échanger l’ordre du « pour tout » et du « il existe ». 4. L’inégalité |un −ℓ| ⩽ε signifie ℓ−ε ⩽un ⩽ℓ+ ε. On aurait aussi pu définir la limite par la phrase : ∀ε > 0 ∃N ∈ N (n ⩾N =⇒|un −ℓ| < ε), où l’on a remplacé la dernière inégalité large par une inégalité stricte. Définition 6. Une suite (un)n∈N est convergente si elle admet une limite finie. Elle est divergente sinon (c’est-à-dire soit la suite tend vers ±∞, soit elle n’admet pas de limite). On va pouvoir parler de la limite, si elle existe, car il y a unicité de la limite : Proposition 1. Si une suite est convergente, sa limite est unique. Démonstration. On procède par l’absurde. Soit (un)n∈N une suite convergente ayant deux limites ℓ̸= ℓ′. Choisissons ε > 0 tel que ε < |ℓ−ℓ′| 2 . Comme limn→+∞un = ℓ, il existe N1 tel que n ⩾N1 implique |un −ℓ| < ε. De même limn→+∞un = ℓ′, il existe N2 tel que n ⩾N2 implique |un −ℓ′| < ε. Notons N = max(N1, N2), on a alors pour ce N : |uN −ℓ| < ε et |uN −ℓ′| < ε LES SUITES 2. LIMITES 5 Donc |ℓ−ℓ′| = |ℓ−uN+uN−ℓ′| ⩽|ℓ−uN|+|uN−ℓ′| d’après l’inégalité triangulaire. On en tire |ℓ−ℓ′| ⩽ε+ε = 2ε < |ℓ−ℓ′|. On vient d’aboutir à l’inégalité |ℓ−ℓ′| < |ℓ−ℓ′| qui est impossible. Bilan : notre hypothèse de départ est fausse et donc ℓ= ℓ′. 2.3. Propriétés des limites Proposition 2. 1. limn→+∞un = ℓ⇐⇒limn→+∞(un −ℓ) = 0 ⇐⇒limn→+∞|un −ℓ| = 0, 2. limn→+∞un = ℓ=⇒limn→+∞|un| = |ℓ|. Démonstration. Cela résulte directement de la définition. Proposition 3 (Opérations sur les limites). Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites convergentes. 1. Si limn→+∞un = ℓ, où ℓ∈R, alors pour λ ∈R on a limn→+∞λun = λℓ. 2. Si limn→+∞un = ℓet limn→+∞vn = ℓ′, où ℓ,ℓ′ ∈R, alors lim n→+∞(un + vn) = ℓ+ ℓ′ lim n→+∞(un × vn) = ℓ× ℓ′ 3. Si limn→+∞un = ℓoù ℓ∈R∗= R\{0} alors un ̸= 0 pour n assez grand et limn→+∞ 1 un = 1 ℓ. Nous ferons la preuve dans la section suivante. Nous utilisons continuellement ces propriétés, le plus souvent sans nous en rendre compte. Exemple 3. Si un →ℓavec ℓ̸= ±1, alors un(1 −3un) − 1 u2 n −1 − − − − → n→+∞ℓ(1 −3ℓ) − 1 ℓ2 −1. Proposition 4 (Opérations sur les limites infinies). Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites telles que limn→+∞vn = +∞. 1. limn→+∞ 1 vn = 0 2. Si (un)n∈N est minorée alors limn→+∞(un + vn) = +∞. 3. Si (un)n∈N uploads/Litterature/ chapitre-01-suites.pdf

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